【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x 1a????????，∞ 1a 1 aa???????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減 函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 1a????????，∞， ()a?， ∞ 內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間 1 aa???????，內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù) ()fx在1 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????， 函 數(shù) ()fx在2 1x a?處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． （ 2）當(dāng) 0a? 時(shí)，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ? ?，當(dāng) x 變化時(shí)， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x ? ?a? ，∞ a 1a a???????， 1a? 1a???????， +∞ 11 ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 ()a? ，∞ ， 1a???????， +∞內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間 1aa???????，內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù) ()fx在 1xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． 函數(shù) ()fx在2 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????． 3設(shè)函數(shù) 1( ) 1 ( , 1 , )nf x n N n x Nn??? ? ? ? ????? 且. (Ⅰ )當(dāng) x=6 時(shí) ,求 nn?????? ?11的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 。 (Ⅱ )對(duì)任意的實(shí)數(shù) x,證明 2 )2()2( fxf ? ＞ )。)()()(( 的導(dǎo)函數(shù)是 xfxfxf ?? (Ⅲ )是否存在 Na? ,使得 an＜ ?? ?????? ?nk k111 ＜ na )1( ? 恒成立 ?若存在 ,試證明你的結(jié)論并求出 a 的值 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . （Ⅰ）解：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 4項(xiàng)，這項(xiàng)是 3356 31 201C nn??????? （Ⅱ）證法一： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121nn???????? 112 1 ln 1 2nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。112 1 l n 1 2n fxnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 證法二： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 而 ? ?39。 112 2 1 ln 1nfxnn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故只需對(duì) 11n???????和 1ln 1n???????進(jìn)行比較。 令 ? ? ? ?ln 1g x x x x? ? ?，有 ? ?39。 111 xgx xx?? ? ?，由 1 0xx? ? ，得 1x? 因?yàn)楫?dāng) 01x??時(shí)， ? ?39。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞減；當(dāng) 1 x? ??? 時(shí)， ? ?39。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞增， 所以在 1x? 處 ??gx有極小值 1，故當(dāng) 1x? 時(shí)， ? ? ? ?11g x g??， 12 從而有 ln 1xx??，亦即 ln 1 lnx x x? ? ? ，故有 111 ln 1nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?恒成立。 所以 ? ? ? ? ? ?39。2 2 2f x f f x??，原不等式成立。 （Ⅲ）對(duì) mN? ，且 1m? 有 20 1 21 1 1 1 11 m k mkmm m m m mC C C C Cm m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 1 1 2 11 1 111 2 ! ! !kmm m m m m k m mm k m m m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 12 ! ! !kmm k m m m m m m??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 12 2 ! 3! ! !km? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 12 2 1 3 2 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 121 2 2 3 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?133m? ? ? 又因 ? ?1 0 2 , 3 , 4 , ,kkmC k mm?? ??????，故 12 1 3mm??? ? ????? ∵ 12 1 3mm??? ? ?????，從而有112 1 3knknnk???? ? ?????? 成立， 即存在 2a? ，使得112 1 3knknnk???? ? ?????? 恒成立。 3 設(shè)函數(shù) f(x)= ,22 aaxx c ?? 其中 a 為實(shí)數(shù) . (Ⅰ )若 f(x)的定義域?yàn)?R,求 a 的取值范圍 。 (Ⅱ )當(dāng) f(x)的定義域?yàn)?R 時(shí)，求 f(x)的單減區(qū)間 . 解：（Ⅰ） ()fx的定義域?yàn)?R ， 2 0x ax a? ? ? ?恒成立， 2 40aa?? ? ? ?， 04a? ? ? ，即當(dāng) 04a?? 時(shí) ()fx的定義域?yàn)?R ． （Ⅱ）22( 2 )e() ()xx x afx x a x a??? ? ??，令 ( ) 0fx? ≤ ，得 ( 2) 0x x a?? ≤ ． 由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 2xa?? ，又 04a?? ， 02a? ? ? 時(shí)，由 ( ) 0fx? ? 得 02xa? ? ? ； 當(dāng) 2a? 時(shí)， ( ) 0fx? ≥ ；當(dāng) 24a?? 時(shí)，由 ( ) 0fx? ? 得 20ax? ? ? ， 13 即當(dāng) 02a?? 時(shí)， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (02 )a?， ； 當(dāng) 24a?? 時(shí)， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (2 0)a?， ． 3 設(shè)函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?，其中 0b? ．（ Ⅰ ）當(dāng) 12b?時(shí)，判斷函數(shù) ()fx在定義域上的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的極值點(diǎn)； （ Ⅲ ）證明對(duì)任意的正整數(shù) n ，不等式231 1 1ln 1n n n??? ? ?????都成立． 解： (I) 函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?的定義域?yàn)?? ?1,? ?? . 22239。( ) 2 11b x x bf x x xx ??? ? ???， 令 2( ) 2 2g x x x b? ? ?，則 ()gx在 1,2??? ??????上遞增，在 11,2????????上遞減， m in 11( ) ( )22g x g b? ? ? ? ?.當(dāng) 12b? 時(shí)，m in 1( ) 02g x b? ? ? ?， 2( ) 2 2 0g x x x b? ? ? ?在 ? ?1,? ?? 上恒成立 . 39。( ) 0,fx?? 即當(dāng) 12b? 時(shí) ,函數(shù) ()fx在定義域 ? ?1,? ?? 上單調(diào)遞增。 （ II）分以下幾種情形討論：（ 1）由（ I）知當(dāng) 12b? 時(shí)函數(shù) ()fx無(wú)極值點(diǎn) . （ 2）當(dāng) 12b? 時(shí)， 212( )239。( ) 1xfx x?? ? ， 11,2x ??? ? ? ?????時(shí)， 39。 ( ) 0,fx? 1 ,2x ??? ? ??????時(shí)， 39。( ) 0,fx? 12b?? 時(shí)，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無(wú)極值點(diǎn)。 （ 3）當(dāng) 12b? 時(shí)，解 39。( ) 0fx? 得兩個(gè)不同解1 1 1 22 bx ? ? ??，2 1 1 22 bx ? ? ??. 當(dāng) 0b? 時(shí)，1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?，2 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?121 , , 1 , ,xx? ? ? ?? ? ? ?? 此時(shí) ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??. 當(dāng) 10 2b?? 時(shí)， ? ?12, 1, ,xx? ? ?? 39。()fx在 ? ? ? ?121, , ,xx? ??都大于 0 ， 39。()fx在 12( , )xx 上小于 0 ， 此時(shí) ()fx有一個(gè)極大值點(diǎn)1 1 1 22 bx ? ? ??和一個(gè)極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??. 綜上可知， 0b? 時(shí)， ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??； 14 10 2b?? 時(shí)， ()fx有一個(gè)極大值點(diǎn) 1 1 1 22 bx ? ? ?? 和一個(gè)極小值點(diǎn) 2 1 1 22 bx ? ? ?? ； 12b? 時(shí)，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無(wú)極值點(diǎn)。 （ III） 當(dāng) 1b?? 時(shí)， 2( ) ln ( 1).f x x x? ? ? 令 3 3 2( ) ( ) l n ( 1 ) ,h x x f x x x x? ? ? ? ? ?則 3239。 ( 1)() 1xxhx x??? ?在 ? ?0,?? 上恒正， ()hx? 在 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增，當(dāng) ? ?0,x? ?? 時(shí)，恒有 ( ) (0) 0h x h??. 即當(dāng) ? ?0,x? ?? 時(shí)，有 32 ln ( 1) 0 ,x x x? ? ? ? 23ln( 1)x x x? ? ?， 對(duì)任意正整數(shù) n ，取 1x n? 得231 1 1ln( 1)n n n? ? ? 【試題分析】 函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明方法。 (I)通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性是 39。( ) 0fx? 是 12b? 和定義域 ? ?1,? ?? 共同作用的結(jié)果；（ II）需要分類(lèi)討論，由（ I）可知分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)為11, 0 , b b? ? ? ?（ III）構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系 。 用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點(diǎn)，究其原因，應(yīng)該有三條：這里是知識(shí)的交匯處，這里是導(dǎo)數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點(diǎn) .此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導(dǎo)后的細(xì)節(jié)問(wèn)題 參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調(diào)性？因而需要進(jìn)行分類(lèi)討論判斷：當(dāng)參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應(yīng)根據(jù) ()fx導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)迅速判斷 39。( ) 0fx? 或39。( ) 0fx? 。參數(shù)取某些特定值時(shí)，可直觀(guān)作出判斷，單列為一類(lèi)；不能作出直觀(guān)判斷的，再分為一類(lèi)，用通法解決 .另外要注意由 39。( ) 0fx? 求得的根不一定就是極值點(diǎn)，需要判斷在該點(diǎn)兩側(cè)的異號(hào)性后才能稱(chēng)為 “極值點(diǎn)” . 3已知函數(shù) 3()f x x x??．（ 1）求曲線(xiàn) ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t， 處的切線(xiàn)方程； （ 2）設(shè) 0a? ， 如果過(guò)點(diǎn) ()ab， 可作曲線(xiàn) ()y f x? 的三條切線(xiàn)，證明： ()a b f a? ? ? 解：（ 1） ()fx的導(dǎo)數(shù) 2( ) 3 1xxf ? ??．曲線(xiàn) ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t， 處的切線(xiàn)方程為： ( ) ( )( )y f t f t x t?? ? ?，即 23(3 1) 2y t x t? ? ?． （ 2）如果有一條切線(xiàn)過(guò)點(diǎn) ()ab， ，則存在 t ，使 23(3 1) 2b t a t? ? ?． 若過(guò)點(diǎn) ()ab， 可作曲線(xiàn) ()y f x? 的三條切線(xiàn)，則方程 322 3 0t at a b? ? ? ?有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根． 記 32( ) 2 3g t t a t a b? ? ? ?，則 2( ) 6 6g t t at? ?? 6 ( )t t a??． 15 當(dāng) t 變化時(shí)， ( ) ( )g t g t?， 變化情況如下表： t ( 0)??， 0 (0 )a， a ()a??， ()gt? ? 0 ? 0 ? ()gt 增函數(shù) 極大值 ab? 減函數(shù) 極小值 ()b f a? 增函數(shù) 由 ()gt的單