【文章內容簡介】 x 1a????????，∞ 1a 1 aa???????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減 函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 1a????????，∞， ()a?， ∞ 內為減函數(shù)，在區(qū)間 1 aa???????，內為增函數(shù)． 函數(shù) ()fx在1 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????， 函 數(shù) ()fx在2 1x a?處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． （ 2）當 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ? ?，當 x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x ? ?a? ，∞ a 1a a???????， 1a? 1a???????， +∞ 11 ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 ()a? ，∞ ， 1a???????， +∞內為增函數(shù)，在區(qū)間 1aa???????，內為減函數(shù)． 函數(shù) ()fx在 1xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． 函數(shù) ()fx在2 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????． 3設函數(shù) 1( ) 1 ( , 1 , )nf x n N n x Nn??? ? ? ? ????? 且. (Ⅰ )當 x=6 時 ,求 nn?????? ?11的展開式中二項式系數(shù)最大的項 。 (Ⅱ )對任意的實數(shù) x,證明 2 )2()2( fxf ? ＞ )。)()()(( 的導函數(shù)是 xfxfxf ?? (Ⅲ )是否存在 Na? ,使得 an＜ ?? ?????? ?nk k111 ＜ na )1( ? 恒成立 ?若存在 ,試證明你的結論并求出 a 的值 。若不存在 ,請說明理由 . （Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第 4項，這項是 3356 31 201C nn??????? （Ⅱ）證法一： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121nn???????? 112 1 ln 1 2nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。112 1 l n 1 2n fxnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 證法二： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 而 ? ?39。 112 2 1 ln 1nfxnn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故只需對 11n???????和 1ln 1n???????進行比較。 令 ? ? ? ?ln 1g x x x x? ? ?，有 ? ?39。 111 xgx xx?? ? ?，由 1 0xx? ? ，得 1x? 因為當 01x??時， ? ?39。 0gx? ， ??gx單調遞減；當 1 x? ??? 時， ? ?39。 0gx? ， ??gx單調遞增， 所以在 1x? 處 ??gx有極小值 1，故當 1x? 時， ? ? ? ?11g x g??， 12 從而有 ln 1xx??，亦即 ln 1 lnx x x? ? ? ，故有 111 ln 1nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?恒成立。 所以 ? ? ? ? ? ?39。2 2 2f x f f x??，原不等式成立。 （Ⅲ）對 mN? ，且 1m? 有 20 1 21 1 1 1 11 m k mkmm m m m mC C C C Cm m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 1 1 2 11 1 111 2 ! ! !kmm m m m m k m mm k m m m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 12 ! ! !kmm k m m m m m m??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 12 2 ! 3! ! !km? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 12 2 1 3 2 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 121 2 2 3 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?133m? ? ? 又因 ? ?1 0 2 , 3 , 4 , ,kkmC k mm?? ??????，故 12 1 3mm??? ? ????? ∵ 12 1 3mm??? ? ?????，從而有112 1 3knknnk???? ? ?????? 成立， 即存在 2a? ，使得112 1 3knknnk???? ? ?????? 恒成立。 3 設函數(shù) f(x)= ,22 aaxx c ?? 其中 a 為實數(shù) . (Ⅰ )若 f(x)的定義域為 R,求 a 的取值范圍 。 (Ⅱ )當 f(x)的定義域為 R 時，求 f(x)的單減區(qū)間 . 解：（Ⅰ） ()fx的定義域為 R ， 2 0x ax a? ? ? ?恒成立， 2 40aa?? ? ? ?， 04a? ? ? ，即當 04a?? 時 ()fx的定義域為 R ． （Ⅱ）22( 2 )e() ()xx x afx x a x a??? ? ??，令 ( ) 0fx? ≤ ，得 ( 2) 0x x a?? ≤ ． 由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 2xa?? ，又 04a?? ， 02a? ? ? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 02xa? ? ? ； 當 2a? 時， ( ) 0fx? ≥ ；當 24a?? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 20ax? ? ? ， 13 即當 02a?? 時， ()fx的單調減區(qū)間為 (02 )a?， ； 當 24a?? 時， ()fx的單調減區(qū)間為 (2 0)a?， ． 3 設函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?，其中 0b? ．（ Ⅰ ）當 12b?時，判斷函數(shù) ()fx在定義域上的單調性； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的極值點； （ Ⅲ ）證明對任意的正整數(shù) n ，不等式231 1 1ln 1n n n??? ? ?????都成立． 解： (I) 函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?的定義域為 ? ?1,? ?? . 22239。( ) 2 11b x x bf x x xx ??? ? ???， 令 2( ) 2 2g x x x b? ? ?，則 ()gx在 1,2??? ??????上遞增，在 11,2????????上遞減， m in 11( ) ( )22g x g b? ? ? ? ?.當 12b? 時，m in 1( ) 02g x b? ? ? ?， 2( ) 2 2 0g x x x b? ? ? ?在 ? ?1,? ?? 上恒成立 . 39。( ) 0,fx?? 即當 12b? 時 ,函數(shù) ()fx在定義域 ? ?1,? ?? 上單調遞增。 （ II）分以下幾種情形討論：（ 1）由（ I）知當 12b? 時函數(shù) ()fx無極值點 . （ 2）當 12b? 時， 212( )239。( ) 1xfx x?? ? ， 11,2x ??? ? ? ?????時， 39。 ( ) 0,fx? 1 ,2x ??? ? ??????時， 39。( ) 0,fx? 12b?? 時，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無極值點。 （ 3）當 12b? 時，解 39。( ) 0fx? 得兩個不同解1 1 1 22 bx ? ? ??，2 1 1 22 bx ? ? ??. 當 0b? 時，1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?，2 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?121 , , 1 , ,xx? ? ? ?? ? ? ?? 此時 ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點2 1 1 22 bx ? ? ??. 當 10 2b?? 時， ? ?12, 1, ,xx? ? ?? 39。()fx在 ? ? ? ?121, , ,xx? ??都大于 0 ， 39。()fx在 12( , )xx 上小于 0 ， 此時 ()fx有一個極大值點1 1 1 22 bx ? ? ??和一個極小值點2 1 1 22 bx ? ? ??. 綜上可知， 0b? 時， ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點2 1 1 22 bx ? ? ??； 14 10 2b?? 時， ()fx有一個極大值點 1 1 1 22 bx ? ? ?? 和一個極小值點 2 1 1 22 bx ? ? ?? ； 12b? 時，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無極值點。 （ III） 當 1b?? 時， 2( ) ln ( 1).f x x x? ? ? 令 3 3 2( ) ( ) l n ( 1 ) ,h x x f x x x x? ? ? ? ? ?則 3239。 ( 1)() 1xxhx x??? ?在 ? ?0,?? 上恒正， ()hx? 在 ? ?0,?? 上單調遞增，當 ? ?0,x? ?? 時，恒有 ( ) (0) 0h x h??. 即當 ? ?0,x? ?? 時，有 32 ln ( 1) 0 ,x x x? ? ? ? 23ln( 1)x x x? ? ?， 對任意正整數(shù) n ，取 1x n? 得231 1 1ln( 1)n n n? ? ? 【試題分析】 函數(shù)的單調性、導數(shù)的應用、不等式的證明方法。 (I)通過判斷導函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調性是 39。( ) 0fx? 是 12b? 和定義域 ? ?1,? ?? 共同作用的結果；（ II）需要分類討論，由（ I）可知分類的標準為11, 0 , b b? ? ? ?（ III）構造新函數(shù)為證明不等式“服務”，構造函數(shù)的依據(jù)是不等式關系中隱含的易于判斷的函數(shù)關系 。 用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點，究其原因，應該有三條：這里是知識的交匯處，這里是導數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點 .此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導后的細節(jié)問題 參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調性？因而需要進行分類討論判斷：當參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應根據(jù) ()fx導函數(shù)的特點迅速判斷 39。( ) 0fx? 或39。( ) 0fx? 。參數(shù)取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決 .另外要注意由 39。( ) 0fx? 求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側的異號性后才能稱為 “極值點” . 3已知函數(shù) 3()f x x x??．（ 1）求曲線 ()y f x? 在點 ( ( ))M t f t， 處的切線方程； （ 2）設 0a? ， 如果過點 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，證明： ()a b f a? ? ? 解：（ 1） ()fx的導數(shù) 2( ) 3 1xxf ? ??．曲線 ()y f x? 在點 ( ( ))M t f t， 處的切線方程為： ( ) ( )( )y f t f t x t?? ? ?，即 23(3 1) 2y t x t? ? ?． （ 2）如果有一條切線過點 ()ab， ，則存在 t ，使 23(3 1) 2b t a t? ? ?． 若過點 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，則方程 322 3 0t at a b? ? ? ?有三個相異的實數(shù)根． 記 32( ) 2 3g t t a t a b? ? ? ?，則 2( ) 6 6g t t at? ?? 6 ( )t t a??． 15 當 t 變化時， ( ) ( )g t g t?， 變化情況如下表： t ( 0)??， 0 (0 )a， a ()a??， ()gt? ? 0 ? 0 ? ()gt 增函數(shù) 極大值 ab? 減函數(shù) 極小值 ()b f a? 增函數(shù) 由 ()gt的單