【正文】 證明： ? ?2 1?? kkn ； （Ⅲ）判斷 nm和 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 8 （Ⅰ）解：集合 ? ?3,2,1,0 不具有性質(zhì) P ， ? ?3,2,1? 具有性質(zhì) P ，其相應(yīng)的集合 TS和 是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?3,2,1,2,3,1 ????? TS ； （Ⅱ）證明：首先由 A 中的元素構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對共有 2k 個，因為 ? ? TaaA ii ?? ,0 ),2,1( ki ?? , 又因為當(dāng) AaAa ??? 時， ，所以當(dāng) ? ? ? ? TaaTaa ijji ?? , 時， ),2,1( ki ?? ，于是集合 T 中的元素 的個數(shù)最多為 ? ? ? ?12121 2 ???? kkkkn，即 ? ?2 1?? kkn. （Ⅲ）解： nm? ，證明如下： ①對于 ? ? Sba ?, ，根據(jù)定義 ? ? TbbaAbaAbAa ?????? , ，從而，則 如果 ? ? ? ?dcba , 與 是 S 中的不同元素，那么 dbca ?? 與 中至少有一個不成立，于是 dcba ??? 與 db? 中至少有一個不成立，故 ? ?bba ,? 與 ? ?ddc ,? 也是 T 中的不同元素 .可見 S 中的元素個數(shù)不多于 T 中的元素個數(shù)，即 nm? ； ②對于 ? ? Tba ?, ，根據(jù)定義 ? ? SbbaAbaAbAa ?????? , ，從而，則 如果 ? ? ? ?dcba , 與 是 T 中的不同元素，那么 dbca ?? 與 中至少有一個不成立，于是 dcba ??? 與 db? 中至少有一個不成立，故 ? ?bba ,? 與 ? ?ddc ,? 也是 S 中的不同元素 .可見 T 中的元素個數(shù)不多于 S 中的元素個數(shù)，即 mn? . 由①②可知 nm? . 2 （ 07 重慶理） 已知函數(shù) ? ? ),0(2 Raxxaxxf ???? （ 1）判斷函數(shù) ??xf 的奇偶性； （ 2）若 ??xf 在區(qū)間 ? ???,2 是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 另解（導(dǎo)數(shù)法）： ? ?2239。 ?xf 恒成立，即 022 ?? xax，則 ? ????? ,162 3xa 恒成立，故當(dāng) 16?a 時， ??xf 在區(qū)間 ? ???,2 是增函數(shù)。， 6(2) 25f? ?? ．所以，曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (2 (2))f， 處的切線方程為 46( 2)5 25yx? ? ? ?， 即 6 2 32 0xy? ? ?． （ Ⅱ ）解： 222 2 2 22 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a x x a x a x a a xfx xx? ? ? ? ? ? ?? ????． 由于 0a? ，以下分兩種情況討論． （ 1）當(dāng) 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到1 1x a??， 2xa? ．當(dāng) x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x 1a????????，∞ 1a 1 aa???????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減 函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 1a????????，∞， ()a?， ∞ 內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間 1 aa???????，內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù) ()fx在1 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????， 函 數(shù) ()fx在2 1x a?處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． （ 2）當(dāng) 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ? ?，當(dāng) x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x ? ?a? ，∞ a 1a a???????， 1a? 1a???????， +∞ 11 ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 ()fx在區(qū)間 ()a? ，∞ ， 1a???????， +∞內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間 1aa???????，內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù) ()fx在 1xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． 函數(shù) ()fx在2 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????． 3設(shè)函數(shù) 1( ) 1 ( , 1 , )nf x n N n x Nn??? ? ? ? ????? 且. (Ⅰ )當(dāng) x=6 時 ,求 nn?????? ?11的展開式中二項式系數(shù)最大的項 。)()()(( 的導(dǎo)函數(shù)是 xfxfxf ?? (Ⅲ )是否存在 Na? ,使得 an＜ ?? ?????? ?nk k111 ＜ na )1( ? 恒成立 ?若存在 ,試證明你的結(jié)論并求出 a 的值 。112 1 l n 1 2n fxnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 證法二： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 而 ? ?39。 令 ? ? ? ?ln 1g x x x x? ? ?，有 ? ?39。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞減；當(dāng) 1 x? ??? 時， ? ?39。 所以 ? ? ? ? ? ?39。 （Ⅲ）對 mN? ，且 1m? 有 20 1 21 1 1 1 11 m k mkmm m m m mC C C C Cm m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 1 1 2 11 1 111 2 ! ! !kmm m m m m k m mm k m m m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 12 ! ! !kmm k m m m m m m??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 12 2 ! 3! ! !km? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 12 2 1 3 2 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 121 2 2 3 1 1k k m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?133m? ? ? 又因 ? ?1 0 2 , 3 , 4 , ,kkmC k mm?? ??????，故 12 1 3mm??? ? ????? ∵ 12 1 3mm??? ? ?????，從而有112 1 3knknnk???? ? ?????? 成立， 即存在 2a? ，使得112 1 3knknnk???? ? ?????? 恒成立。 (Ⅱ )當(dāng) f(x)的定義域為 R 時，求 f(x)的單減區(qū)間 . 解：（Ⅰ） ()fx的定義域為 R ， 2 0x ax a? ? ? ?恒成立， 2 40aa?? ? ? ?， 04a? ? ? ，即當(dāng) 04a?? 時 ()fx的定義域為 R ． （Ⅱ）22( 2 )e() ()xx x afx x a x a??? ? ??，令 ( ) 0fx? ≤ ，得 ( 2) 0x x a?? ≤ ． 由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 2xa?? ，又 04a?? ， 02a? ? ? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 02xa? ? ? ； 當(dāng) 2a? 時， ( ) 0fx? ≥ ；當(dāng) 24a?? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 20ax? ? ? ， 13 即當(dāng) 02a?? 時， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (02 )a?， ； 當(dāng) 24a?? 時， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (2 0)a?， ． 3 設(shè)函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?，其中 0b? ．（ Ⅰ ）當(dāng) 12b?時，判斷函數(shù) ()fx在定義域上的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的極值點(diǎn)； （ Ⅲ ）證明對任意的正整數(shù) n ，不等式231 1 1ln 1n n n??? ? ?????都成立． 解： (I) 函數(shù) 2( ) ln ( 1)f x x b x? ? ?的定義域為 ? ?1,? ?? . 22239。( ) 0,fx?? 即當(dāng) 12b? 時 ,函數(shù) ()fx在定義域 ? ?1,? ?? 上單調(diào)遞增。( ) 1xfx x?? ? ， 11,2x ??? ? ? ?????時， 39。( ) 0,fx? 12b?? 時，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無極值點(diǎn)。( ) 0fx? 得兩個不同解1 1 1 22 bx ? ? ??，2 1 1 22 bx ? ? ??. 當(dāng) 0b? 時，1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?，2 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?121 , , 1 , ,xx? ? ? ?? ? ? ?? 此時 ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??. 當(dāng) 10 2b?? 時， ? ?12, 1, ,xx? ? ?? 39。()fx在 12( , )xx 上小于 0 ， 此時 ()fx有一個極大值點(diǎn)1 1 1 22 bx ? ? ??和一個極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??. 綜上可知， 0b? 時， ()fx在 ? ?1,? ?? 上有唯一的極小值點(diǎn)2 1 1 22 bx ? ? ??； 14 10 2b?? 時， ()fx有一個極大值點(diǎn) 1 1 1 22 bx ? ? ?? 和一個極小值點(diǎn) 2 1 1 22 bx ? ? ?? ； 12b? 時，函數(shù) ()fx在 ? ?1,? ?? 上無極值點(diǎn)。 ( 1)() 1xxhx x??? ?在 ? ?0,?? 上恒正， ()hx? 在 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增，當(dāng) ? ?0,x? ?? 時，恒有 ( ) (0) 0h x h??. 即當(dāng) ? ?0,x? ?? 時，有 32 ln ( 1) 0 ,x x x? ? ? ? 23ln( 1)x x x? ? ?， 對任意正整數(shù) n ，取 1x n? 得231 1 1ln( 1)n n n? ? ? 【試題分析】 函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明方法。( ) 0fx? 是 12b? 和定義域 ? ?1,? ?? 共同作用的結(jié)果；（ II）需要分類討論，由（ I）可知分類的標(biāo)準(zhǔn)為11, 0 , b b? ? ? ?（ III）構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系 。( ) 0fx? 或39。參數(shù)取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決 .另外要注意由 39。 （ 1）求 V(x)的表達(dá)式； （ 2）當(dāng) x 為何值時， V(x)取得最大值？ （ 3）當(dāng) V（ x）取得最大值時， 求異面直線 AC 與 PF 所成角的 余弦值。( ) (9 )34V x x??，所以 (0,6)x? 時， 39。( ) 0vx? ， V(x)單調(diào)遞減；因此 x=6 時， V(x)取得最大值 126 ； （ 3）過 F 作 MF//AC 交 AD 與 M,則, 2 1212BM BF BE BE M B BEAB BC BDAB? ? ? ? ?， PM=62， 66 5 4 9 4 2336M F B F P F B C? ? ? ? ? ?， 在△ PFM 中， 84 72 2c os42 7PFM ?? ? ?，∴異面直線 AC 與 PF 所成角的余弦值為 27； 已知函數(shù) 2( ) 1f x x x? ? ? ， ,??是方程 f(x)=0 的兩個根 ()??? ， 39。( )nnn nfaaafa? ??（ n=1,2,??） （ 1）求 ,??的值； （ 2）證明：對任意的正整數(shù) n，都有 na a； （ 3）記 lnnnnab aa??? ? （ n=1,2,??），求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Sn。( ) 2 1f x x??， 211 1 5( 2 1 ) ( 2 1 )1 2 4 42 1 2 1n n nnnn n nnna a aaaa a aaa?? ? ? ???? ? ? ??? = 5114(2