【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)對(duì)（a, b）共有23對(duì)：當(dāng)a1+b1=3時(shí)，有（6，3），（12，6），（18，9），（24，12），（30，15），（36，18），（42，21），（48，24）；當(dāng)a1+b1=4時(shí)，有（12，4），（24，8），（36，12），（48，16），當(dāng)a1+b1=5時(shí)，有（20，5），（40，10），（15，10），（30，20），（45，30）；當(dāng)a1+b1=6時(shí)，有（30，6）；當(dāng)a1+b1=7時(shí)，有（42，7），（35，14），（28，21）；當(dāng)a1+b1=8時(shí)，有（40，24）；當(dāng)a1+b1=9時(shí)，有（45，36）。令M={6，12，15，18，20，21，24，35，40，42，45，48}，則上述23個(gè)數(shù)對(duì)中的每一個(gè)數(shù)都至少包含M中的1個(gè)元素。令T=SM。則T中任何兩數(shù)都不能成為滿足要求的數(shù)對(duì)（a,b）。因?yàn)閨T|=38，所以所求最小自然數(shù)k≥39.另一方面，下列12個(gè)滿足題中要求的數(shù)對(duì)互不相交：（6，3），（12，4），（20，5），（42，7），（24，8），（18，9），（40，10），（35，14），（30，15），（48，16），（28，21），（45，36），對(duì)于S中任一39元子集R，它只比S少11個(gè)元素，而這11個(gè)元素至多屬于上述12個(gè)數(shù)對(duì)中的11個(gè)，因此必有12對(duì)中的1對(duì)屬于R。故所求的最小自然數(shù)k=39.來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)是20個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。答案：所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為100。首先，令ai=1011+10i, a10+i=101110i(i=1,2,…，10)，則{ai+aj|≤i≤j≤20}中共有（20+19+…+1）10+1=201個(gè)不同的元素，而{aiaj||1≤i≤j≤20}={210i}i=1，2，…，10}∪{|10i10j||1≤ij≤10}共有10+2=100個(gè)不同的元素。下面用反證法證明：所給集合的不同元素的個(gè)數(shù)不小于100。若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于100的集合S={a1, a2,… ,a10}，我們計(jì)算S的“好子集”{x,y,z,w}的個(gè)數(shù)，這里xy≤zw，且x+w=y+z.對(duì)S中滿足bc的數(shù)對(duì)（b,c）（共190對(duì)），考慮它們的差bc，由于至多有99個(gè)不同的差（這里用反證法假設(shè)），故必須至少91個(gè)數(shù)對(duì)（b, c），使得存在b’, c’ ∈S，滿足b’b, c’c, 且bc=b’c’，對(duì)這樣的91個(gè)數(shù)對(duì)（b, c），它與其相應(yīng)的b’, c’ 形成S的一個(gè)4元集{b, c, b’, c’}，可得到S的一個(gè)“好子集”{x, y, z, w}，且至多兩個(gè)數(shù)對(duì)（b, c）形成相同的子集{x, y ,z, w}（只能是（b,c）=(w, z)和（w, y）），故S的“好子集”至少有46個(gè)。另一方面，S的“好子集”{x, y, z,w}的個(gè)數(shù)等于，這里的si為S中滿足b+c=I, b≤c的數(shù)對(duì)（b, c）的個(gè)數(shù)，其中i為正整數(shù)。注意到，對(duì)于每個(gè)i, S中的每個(gè)元素s至多出現(xiàn)在上面的一個(gè)數(shù)對(duì)（b, c）中（事實(shí)上，當(dāng)s≤is時(shí)，s出現(xiàn)在數(shù)對(duì)（s, is）中，其余情況出現(xiàn)在（is, s）中），于是si≤ ≤si≤10，故，由于集合{ai+aj|1≤i≤j≤20}中有201個(gè)不同的元素，故使得si≥1的正數(shù)i有201個(gè)。設(shè)T為這樣的i組成的集合，易知s中有對(duì)（b,c）滿足bc，有20對(duì)（b,c）滿足b=c,所以，于是=5（210201）。這與s的“好子集”至少有46個(gè)矛盾，所以，所給集合中至少有100個(gè)不同的元素。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合{1，2，…，3n}可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)答案：設(shè)其中第個(gè)三元集為則1+2+…+所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以的最小值為5。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)S是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。答案：證明：用反證法：設(shè)S為一個(gè)由2n個(gè)人組成的集合，S中每?jī)蓚€(gè)人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)，S中的任意一個(gè)人A，記M={F1，…，F(xiàn)n}為A的朋友集?？梢宰C明：每個(gè)A，k都為偶數(shù)。事實(shí)上，對(duì)每個(gè)Fi∈M，考慮它在M中的朋友數(shù)，所有這k個(gè)Fi的這些朋友數(shù)之和為偶數(shù)（因?yàn)榕笥咽窍嗷サ模?，而?duì)A，F(xiàn)i而言，其公共朋友數(shù)為奇數(shù)，故每個(gè)Fi的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)，故k為偶數(shù)。設(shè)k=2m，現(xiàn)在考慮每個(gè)Fi∈M，他的所有朋友集不包括A，但不局限于M中他的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)（因?yàn)镕i的朋友數(shù)為偶數(shù)，而A不算在內(nèi)）。因此，所有2m個(gè)這樣的朋友集的元素個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。從而在2n1個(gè)人（A除外）中，必有一個(gè)人在偶數(shù)個(gè)這樣的朋友集中出現(xiàn)，但與A的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。這個(gè)矛盾表明有兩個(gè)S中的人，他們的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難集合，試作出X的三元子集族amp。，滿足：（1）X的任意一個(gè)二元子集至少被族amp。中的一個(gè)三元子集包含；（2）。答案：先證明下面的引理。引理：對(duì)于n∈N+，集合X1={1，2，…，2n}的全部二元子集可分成2n1組，且每組是X1的一個(gè)分劃。引理的證明：如圖所示，將1，2，…，2n1個(gè)數(shù)按順時(shí)針方向放到一個(gè)正2n1邊形的頂點(diǎn)上，數(shù)2n放在外接圓圓心上。連接2n與1，作n1條以2n1邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于1與2n連線的線段，便得到X1的n個(gè)二元子集構(gòu)成X1的n個(gè)二元子集。這樣，X1的全部個(gè)二元子集被分成2n1組，且每組n個(gè)集合構(gòu)成X1的一個(gè)分劃。下面來做滿足題設(shè)的子集族。令A(yù)={1，2，…，2k}，B={2k+1,2k+2,…,4k}，C={4k+1,4k+2,…,6k}。由引理可知，A的全部二元子集可分為2k1組，每組是A的一個(gè)分劃。將其中一組重復(fù)一次，得到A的2k個(gè)分劃，讓其中每個(gè)分劃與B的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集。類似地，作出B的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含B的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與C的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集；作出C的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含C的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與A的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集。上面得到的k2k3=6k2個(gè)X的三元子集組成的族amp。滿足題設(shè)要求。來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）。答案：先證，若，因?yàn)?，所以，所以；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，來源：08年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一題型：解答題，難度：較難設(shè)集合A= B={}C=，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。答案：假設(shè)存在這樣的，則，所以①與②均無解，由①得③。ⅰ）若，則③有實(shí)根，所以。ⅱ）若，則③無解，所以④。由②得，即無解，所以?；?jiǎn)得⑤，所以。（1）若，則④不成立；（2）若，則④仍不成立；（3）若，由⑤式得，所以或2