高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座---競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2025-01-15 10:11本頁(yè)面
【正文】 與a+b之間的制約關(guān)系表明q不能太小。依此思路，我們將可由q≤43導(dǎo)出的矛盾，從而確定了q=44。據(jù)此很容易求出a與b了。五. 構(gòu)造法構(gòu)造法常用來(lái)作存在性的證明。我們熟知有歐幾里德關(guān)于素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無(wú)限性的證明就是一個(gè)典型的例子。另一個(gè)重要的例子是關(guān)于“存在n個(gè)相繼自然數(shù)都是合數(shù)”的證明：對(duì)任意的n，令N=(n+1)!，則相繼的自然數(shù)N+2，N+3，…，N+n+1 （*）,是n個(gè)合數(shù)。我們還可以舉出許多例子，如（1）試證存在無(wú)限多個(gè)正整數(shù)a，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，數(shù)都是合數(shù)。（2）試證存在無(wú)限多個(gè)正整數(shù)n，使6n1與6n+1同為合數(shù)。（3）試證對(duì)任何自然數(shù)n3，必存在素?cái)?shù)p，滿足npn!。解決此類命題的關(guān)鍵是尋找和構(gòu)造所需的數(shù)或式。例如，取，k為任意非零整數(shù)，就證明了（1）；取，就證明了（2）；取p為n!1的最小素因數(shù)，也可證明npn!。我們要強(qiáng)調(diào)指出前面（*）中的n個(gè)數(shù)的構(gòu)造是極有啟發(fā)性的。首先，其中N的選擇還是有跡可尋的：由“n個(gè)相繼自然數(shù)”立即可聯(lián)想到取N+1，N+2，…，N+n。但N+1不能判定是否為合數(shù)，因而應(yīng)取消，于是立即聯(lián)想到（*）。為了保證各數(shù)是合數(shù)，就應(yīng)要求N同時(shí)含有因數(shù)2，3，…，n，n+1。這樣的構(gòu)造還為我們提供了解決另一些命題的線索。例如，為證“存在n個(gè)相繼的自然數(shù)，其中僅有一個(gè)素?cái)?shù)”這一結(jié)論，可從數(shù)列（1）出發(fā)進(jìn)行分析：設(shè)p為大于N+1的最小素?cái)?shù)，可以證明：pn+1，…，p1，p；除最后一個(gè)數(shù)p外，都是合數(shù)。例14. （IMO—30）試證對(duì)于任何正整數(shù)n，存在n個(gè)相繼的自然數(shù)，它們都不是素?cái)?shù)的整數(shù)冪。 解：我們?nèi)=(2(n+1))!+1，考慮N+j，1≤j≤n。若N+j=(2(n+1))!+j+1=，則顯然有(j+1)|(N+j)，因而必有j+1=,1≤r≤m，從而。另一方面，由j+1≤n+1知，故。于是。這是與矛盾的，從而證明了命題。最后還應(yīng)指出，同一命題的構(gòu)造方法可以有多種，如例13中也可令。6
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