高二數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-12-18 18:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1)x＋ a≤0 得 (x－ 1)(x－ a)≤0 ，故分類 討論． 解： (1)① 當(dāng) n＝ 1時， ∵ (a－ 1)S1＝ a(a1－ 1)， ∴ a1＝ a(a＞ 0)． ② 當(dāng) n≥2 時，由 (a－ 1)Sn＝ a(an－ 1)(a＞ 0)， 得 (a－ 1)Sn－ 1＝ a(an－ 1－ 1)， ∴ (a－ 1)an＝ a(an－ an－ 1)， 變形得＝ (n≥2) ， 1nnaa?∴ {an}是以 a1＝ a為首項， a為公比的等比數(shù)列， ∴ an＝ an. (2)① 當(dāng) a≥1 時， A＝ {x|1≤ x≤ a}， S2＝ a＋ a2＞ a， ∴ S2 A， 即當(dāng) a≥1 時，不存在滿足條件的實數(shù) a. ② 當(dāng) 0＜ a＜ 1時， A＝ {x|a≤ x≤1} ， ?Sn＝ a＋ a2＋ … ＋ an＝ (1－ an)． 1aa?由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得， 當(dāng) 0＜ a＜ 1， n∈ N*時， an∈ (0， a]， ∴ Sn∈ [ , )1aaa?因此對任意的 n∈ N*，要使 Sn∈ A，只需 0 1,1,1aaa????? ?? ??解得 0＜ a≤ ， 12綜上所述，實數(shù) a的范圍是 1(0, ].2變式 2－ 1 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原 點(diǎn)，且 f′(1) ＝ 1，數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若數(shù)列 {bn}滿足 an＋ log3n＝ log3bn，求數(shù)列 {bn}的前 n 項和． 解析： (1)∵ f(x)的圖象過原點(diǎn)， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 當(dāng) n＞ 1時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 當(dāng) n＝ 1時， a1＝ 0滿足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ ∴ bn＝ n32n－ 2， 3,nanbn ?設(shè) {bn}的前 n項和為 Tn，則 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－ 2， ① 變式 2－ 1 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原 點(diǎn)，且 f′(1) ＝ 1，數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若數(shù)列 {bn}滿足 an＋ log3n＝ log3bn，求數(shù)列 {bn}的 前 n項和． 解析： (1)∵ f(x)的圖象過原點(diǎn)， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 當(dāng) n＞ 1時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 當(dāng) n＝ 1時， a1＝ 0滿足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ 3,nanbn ? ∴ bn＝ n32n－ 2， 設(shè) {bn}的前 n項和為 Tn，則 設(shè) {bn}的前 n項和為 Tn，則 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－
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