【文章內(nèi)容簡介】 11 － q (1 － q 6 ) ． 由 ① 可得 a n － a n ＋ 3 ＝ a n ＋ 6 － a n ，即 2 a n ＝ a n ＋ 3 ＋ a n ＋ 6 ， n ∈ N * . 所以對任意的 n ∈ N * ， a n 是 a n ＋ 3 與 a n ＋ 6 的等差中項． 于是 q ＝－ 3 2 . 另一方面， a n － a n ＋ 3 ＝ qn ＋ 2 － q n － 11 － q ＝q n － 11 － q ( q3 － 1) , a n ＋ 6 － a n ＝ qn － 1 － q n ＋ 51 － q ＝q n － 11 － q (1 － q6 ) ． 由 ① 可得 a n － a n ＋ 3 ＝ a n ＋ 6 － a n ，即 2 a n ＝ a n ＋ 3 ＋ a n ＋ 6 ， n ∈ N * . 所以對任意的 n ∈ N * ， a n 是 a n ＋ 3 與 a n ＋ 6 的等差中項． 于是 q ＝－ 3 2 . 另一方面， a n － a n ＋ 3 ＝ q n ＋ 2 － q n － 11 － q ＝ q n － 11 － q ( q 3 － 1) , a n ＋ 6 － a n ＝ q n － 1 － q n ＋ 51 － q ＝ q n － 11 － q (1 － q 6 ) ． 由 ① 可得 a n － a n ＋ 3 ＝ a n ＋ 6 － a n ，即 2 a n ＝ a n ＋ 3 ＋ a n ＋ 6 ， n ∈ N * . 所以對任意的 n ∈ N * ， a n 是 a n ＋ 3 與 a n ＋ 6 的等差中項． 于 是 3 ?? 另一方面 ， 主頁 題 型 二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用 解 : (1 ) 由已知得 l og 2 2 a n － 1l og2 2 a n＝ 2 n ， ∴ a n － 1an＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。 n 2 ＋ 1 . ∵ 0 x 1 ， ∴ 02 a n 1 ， ∴ a n 0. ∴ a n ＝ n － n 2 ＋ 1 . 【例 2 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l og 2 x － l og x 2( 0 x 1) ，數(shù)列 { a n }滿足 f (2 a n ) ＝ 2 n ( n ∈ N*) ． ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 判斷數(shù)列 { a n } 的單調(diào)性． 解 : (1 ) 由已知得 l og 2 2 a n － 1l og 2 2 a n ＝ 2 n ， ∴ a n － 1a n ＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。 n 2 ＋ 1 .∵ 0 x 1 ， ∴ 0 2 a n 1 ， ∴ a n 0. ∴ a n ＝ n － n 2 ＋ 1 . 解 : (1 ) 由已知得 l og 2 2 a n － 1l og2 2 a n＝ 2 n ， ∴ a n － 1an＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。 n 2 ＋ 1 . ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 2 a n 1 ， ∴ a n 0. ∴ a n ＝ n － n 2 ＋ 1 . 解 : (1 ) 由已知得 l og 2 2 a n － 1l og 2 2 a n ＝ 2 n ， ∴ a n － 1a n ＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。 n 2 ＋ 1 . ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 2 a n 1 ， ∴ a n 0. ∴ a n ＝ n － n 2 ＋ 1 . 解 : (1 ) 由已知得 l og 2 2 a n － 1l og 2 2 a n ＝ 2 n ， ∴ a n － 1a n ＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。 n 2 ＋ 1 . ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 2 a n 1 ， ∴ a n 0. ∴ a n ＝ n － n 2 ＋ 1 . 主頁 題 型 二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用 ( 2) ∵ a n ＋ 1an＝ ? n ＋ 1 ? － ? n ＋ 1 ?2 ＋ 1n － n 2 ＋ 1 ＝ n ＋ n2 ＋ 1n ＋ 1 ＋ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1 1 ， 又 ∵ a n 0 ， ∴ a n ＋ 1 a n ， 所以 { a n } 是遞增數(shù)列． 探究提高【例 2 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l og 2 x － l og x 2( 0 x 1) ，數(shù)列 { a n }滿足 f (2 a n ) ＝ 2 n ( n ∈ N*) ． ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 判斷數(shù)列 { a n } 的單調(diào)性． 本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調(diào)性等知識為一體，結(jié)構(gòu)巧妙、形式新穎，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力． ( 2) ∵ a n ＋ 1a n ＝ ? n ＋ 1 ?－ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1n － n 2 ＋ 1 ＝ n ＋ n 2 ＋ 1n ＋ 1 ＋ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1 1 ， 又 ∵ a n 0 ， ∴ a n ＋ 1 a n ， 所以 { a n } 是遞增數(shù)列． ( 2) ∵ a n ＋ 1an＝ ? n ＋ 1 ?－ ? n ＋ 1 ?2 ＋ 1n － n 2 ＋ 1 ＝ n ＋ n2 ＋ 1＋ 1 ＋ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1 1 ， 又 ∵ a n 0 ， ∴ a n ＋ 1 a n ， 所以 { a n } 是遞增數(shù)列． ( 2) ∵ a n ＋ 1a n ＝ ? n ＋ 1 ?－ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1n － n 2 ＋ 1 ＝ n ＋ n 2 ＋ 1n ＋ 1 ＋ ? n ＋ 1 ? 2 ＋ 1 1 ， 又 ∵ a n 0 ， ∴ a n ＋ 1 a n ， 所以 { a n } 是遞增數(shù)列． 主頁 則直線 g(x)＝ 4(x－ 1)的圖象與 y＝ f(x)的圖象的兩個交點為 變式訓(xùn)練 2已知定義域為 R 的二次函數(shù) f ( x ) 的最小值為 0 ，且有 f (1 ＋ x )＝ f (1 － x ) ，直線 g ( x ) ＝ 4( x － 1) 的圖象被 f ( x ) 的圖象截得的弦長為4 17 ，數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 2 ， ( a n ＋ 1 － a n ) g ( a n ) ＋ f ( a n ) ＝ 0 ( n ∈ N*) ． ( 1) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； ( 2) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 3) 設(shè) b n ＝ 3 f ( a n ) － g ( a n ＋ 1 ) , 求數(shù)列 { b n } 的最值及相應(yīng)的 n . 164( 1 , 0 ) , ( 1 , ) .aa?解 : ( 1 ) 設(shè) f ( x ) ＝ a ( x － 1) 2 ( a 0) ，則直線 g ( x ) ＝ 4( x － 1) 的圖象與 y ＝ f ( x ) 的圖象的兩個交點為 22 164( ) ( )aa ? ＝ 4 17 ( a 0) ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ ( x － 1) 2 . 解 : ( 1 ) 設(shè) f ( x ) ＝ a ( x － 1)2 ( a 0) ，則直線 g ( x ) ＝ 4( x － 1) 的圖象與 y ＝ f ( x ) 的圖象的兩個交點為 22164( ) ( )aa? ＝ 4 17 ( a 0) ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ ( x － 1) 2 . 解 : (1)設(shè) f(x)＝ a(x－ 1)2 (a0), 解 :(1 )設(shè) f(x )＝ a (x－ 1) 2 ( a 0) ，則直線 g (x )＝ 4( x－ 1) 的圖象與 y＝ f(x )的圖象的兩個交點為 22164( ) ( )aa? ＝ 4 17 ( a 0) ， ∴ a＝ 1， ∴ f(x )＝ (x－ 1) 2 . 主頁 變式訓(xùn)練 2( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a n ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a n ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a n ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a n ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2 ， g ( a n ) ＝ 4( a n － 1) ， ∵ ( a n ＋ 1 － a n ) 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? ( 2) f ( a n ) ＝ ( a n － 1) 2