高考金鑰匙數(shù)學解題技巧大揭秘專題十一數(shù)列的綜合應用問題(編輯修改稿)
2025-07-05 00:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)方面的知識，難度較大． 【例2】已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.(1)設函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：{an}為等差數(shù)列；(2)設函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求{bn}的前n項和Sn.[審題視點] [聽課記錄][審題視點] (1)配方可求頂點的縱坐標，再用定義可證；(2)由bn＝|an|知分類求和．(1)證明 ∵f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∴an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)解 由題意知，bn＝|an|＝|3n－8|，∴當1≤n≤2時，bn＝8－3n，Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝.[來源:學科網(wǎng)ZXXK]當n≥3時，bn＝3n－8，[來源:]Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋[1＋4＋…＋(3n－8)]＝7＋＝，∴Sn＝, 解決此類問題時要注意把握以下兩點：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征．【突破訓練2】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2，數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列，點(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上；數(shù)列{bn}滿足bn＝n－1.(1)求an；(2)若數(shù)列{}滿足＝，求數(shù)列{}的前n項和．解 (1)因為點(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以a＝S2n－1.令n＝1，n＝2，得即由①知a1＝0或a1＝1，∵a1≠0，∴a1＝②解得d＝－1或d＝2，又d＝－1時，a2＝0不合題意，∴d＝－1(舍去)，∴d＝＝2n－1.(2)由(1)得＝＝＝.令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋，則Tn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1＋－＝2－－＝2－.所以Tn＝3－. 數(shù)列與不等式的綜合問題是高考的熱點，?？疾椋孩僖詳?shù)列為載體，比較兩項的大小或證明不等式；②以數(shù)列為載體，利用不等式恒成立求參數(shù)．在解答時需要我們抓住本質(zhì)，進行合理變形、求和，再結(jié)合與不等式有關(guān)的知識求解．試題難度較大． 【例3】設b＞0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1.[審題視點] [聽課記錄][審題視點] (1)對所給遞推關(guān)系式變形(取倒數(shù))后構(gòu)造等比數(shù)列求解．(2)利用基本不等式放縮．(1)解 由a1＝b＞0，知an＝＞0，＝＋ .令An＝，A1＝.當n≥2時，An＝＋An－1＝＋…＋＋A1＝＋…＋＋.①當b≠1時，An＝＝；②當b＝1時，An＝＝(2)證明 當b≠1時，欲證2an＝≤bn＋1＋1，只需證2nbn≤(bn＋1＋1).
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