多次相遇問題解題技巧(編輯修改稿)
2025-04-21 00:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則第一次相遇走1個(gè)全程時(shí)，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對(duì)象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程數(shù)為2101=19個(gè)，甲走1個(gè)全程走2份，則走19個(gè)全程可走192=38份。7份是一個(gè)全程，則38份共有38247。7=5…3份（當(dāng)商是偶數(shù)時(shí)從甲的一端數(shù)，0也是偶數(shù)；當(dāng)商是奇數(shù)時(shí)從乙的一端數(shù)，比如第1個(gè)全程在乙的一端，第2個(gè)全程在甲的一端）從乙端數(shù)3份。同理當(dāng)?shù)?8次相遇，甲走的份數(shù)為（2181）2=70份。共有70247。7=10個(gè)全程，10為偶數(shù)在甲的端點(diǎn)。如下圖：則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長為千米。w點(diǎn)評(píng)：對(duì)于給定任意兩次的距離，主要是根據(jù)速度轉(zhuǎn)化為全程的份數(shù)，找一個(gè)為研究對(duì)象，看在相遇次數(shù)內(nèi)走的全程數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為份數(shù)，然后根據(jù)一個(gè)全程的份數(shù)，將研究對(duì)象走的總份數(shù)去掉全程的個(gè)數(shù)看剩余的份數(shù)，注意由全程的個(gè)數(shù)決定剩余的份數(shù)從哪一端數(shù)?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時(shí)行 45千米，乙車每小時(shí)行36千米，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點(diǎn)相距40千米， 則A、B相距多少千米？ A、90 B、180 C、270 D、110【答案及解析】A。法一：同上題。相同時(shí)間，甲、乙路程比為45：36=5：4，則將全程分成9份。則一個(gè)全程時(shí)甲走5份，乙走4份。以甲為研究對(duì)象，第2次相遇，走的全程數(shù)為221=3個(gè)，則甲走的份數(shù)為35=15份，一個(gè)全程為9份，則第2次相遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為15247。9=1…6份，則從乙端數(shù)6份。第3次相遇走的份數(shù)為（231）5=25份，轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為25247。9=2…7，則從甲端數(shù)7份。如下圖：由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距=90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時(shí)間比，則以時(shí)間為刻度，畫出兩人到達(dá)對(duì)岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點(diǎn)即為兩人相遇的地點(diǎn)。st圖中的路線因像古代記時(shí)間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為36：45=4：5。如下圖： 根據(jù)路線圖看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交點(diǎn)E和O，根據(jù)三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，則求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理DO:ON=7：2，則第3次相遇距A地的比例為7S/9，則兩次相遇比例為為40千米，則S=90千米。w點(diǎn)評(píng)：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會(huì)直觀快速的提高解題速度。用交點(diǎn)判斷是迎面相遇還是背面相遇的技巧：看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。 用時(shí)注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時(shí)可畫，相遇次數(shù)太多，則會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，不利于提高速度；畫時(shí)的單位刻度要看時(shí)間比，如果時(shí)間比中的數(shù)據(jù)較大可把刻度
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