【文章內(nèi)容簡介】 ，即　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9　?。?5＋63＝108?！槭蛊浜偷扔?00，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100?！　皽p去4”可變?yōu)椤皽p減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)椤?2＋3＋4＋5＋6＋7＋89?！。?2－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26?！∫獙ⅰ埃弊?yōu)椤埃钡臄?shù)和為13，在7中有6＋7，3＋4＋6，因而有　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，　　同理得　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，　　123＋4－5＋67－89＝100，　　123－45－67＋89＝100。　　為了減少計算。應(yīng)注意：　　(1)能否在289中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？　　289的和或差是奇數(shù)，6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)177。偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會是100?！　?2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100?！　±? 求59～199的奇數(shù)和。　　由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方　　1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2　　奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n－1?！　±?，32對應(yīng)奇數(shù)232－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。　　知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝5n＝21～57的奇數(shù)和為292＝841?！　∷鬄?10000－841＝9159?！　』蛘?59＝302－1，302＝900，　　10000－900＋59＝9159。例1 思考題：在9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你還能想出不同的添法嗎？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即 1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9　?。?5＋63＝108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100?！皽p去4”可變?yōu)椤皽p減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負數(shù)“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?2＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要將“＋”變?yōu)椤埃钡臄?shù)和為13，在7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，　　123＋4－5＋67－89＝100，　　123－45－67＋89＝100?！　榱藴p少計算。應(yīng)注意：　　(1)能否在289中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？　　289的和或差是奇數(shù)，6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)177。偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會是100?！　?2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。例2 求59～199的奇數(shù)和?！　∮蓮?開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n－1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)232－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝5n＝21～57的奇數(shù)和為292＝841。所求為 10000－841＝9159。或者 59＝302－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設(shè)M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。那么 MN＝PaPb。而 Q＝Pab，所以 MN＝PQ。例1 甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？　 例2 已知兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個數(shù)。這兩個互質(zhì)數(shù)的積為1155＝155，還可分解為531。所求是1和155，5和31。例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，求各數(shù)。由上述定理和題意知兩數(shù)的積。小數(shù)的平方為440247。＝64。小數(shù)是8。大數(shù)是8＝20。算理：440＝820＝8(8)＝82。 份 數(shù) 　　 　　例1 四個比1大的整數(shù)的積是144，寫出由這四個數(shù)組成的比例式?！　?44＝2432　?。?223)[(23)2]　?。?43)(62)　　可組成4∶6＝2∶3等八個比例式?！　±? 三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個數(shù)?！　?896＝253217　　＝2417(232)　?。?61718　　 　　1728＝2633＝(223)3＝123　　385＝5711　　 　　例4 1992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？　　1992＝222383　　2＋3＋83＝88　　例5 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩個數(shù)?！　?620＝22345　?。?3222)(325)　　甲數(shù)是45，乙數(shù)是36?！　±? 把13714164444953分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)?！　“藗€數(shù)的積等于272353113551113131357127313127?！　∶拷M數(shù)的積為23252711132127。兩組為　　 例7 600有多少個約數(shù)？　　600＝6100＝232255　　＝23352　　只含因數(shù)223235的約數(shù)分別為：　　223；　　3；　　52；　　222233；　　22223252252352；　　3352；　　23223233235223523352?！　〔缓?35的因數(shù)的數(shù)只有1?！　∵@八種情況約數(shù)的個數(shù)為；　　3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。　　不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(3＋1)(1＋1)(2＋1)＝24。 法 則　　用來說明運算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法則?！　?子比分母少16。求這個分數(shù)？　　由“一個分數(shù)乘以5，是分子乘以5分母不變”，結(jié)果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知　　分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18247。2＝9，分母為95－2＝43或93＋16＝43?！　? 公 式　　 　　 　　 　　證明方法：　　 　　以分母a，要加(或減)的數(shù)為　　 　　(2)設(shè)分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應(yīng)加上(或減去)的數(shù)為y?！　?　　 　　 性 質(zhì)　　例1 1992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個 多少倍？　　 　　 　　 　　200247。16＝(倍)。　　例2 思考題：三個最簡真分數(shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分數(shù)的值，等于另兩個分數(shù)的和。寫出這三個分數(shù)?！　∮伞胺帜付即笥?0，且最小公分母是60”，知其分母只能是1120；1130；1160?！　∮伞胺肿邮沁B續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于12的自然數(shù)?！　M足題意的三個分數(shù)是　　 　　 　　 　　　(二)第400個分數(shù)是幾分之幾？　　此題特點：　 　　(2)每組分子的排列：　　 　　假設(shè)某一組分數(shù)的分母是自然數(shù)n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分數(shù)的個數(shù)為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分數(shù)的個數(shù)總是奇數(shù)?！　?3)分母數(shù)與分數(shù)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系　　分母：……　　分數(shù)個數(shù)：……　　(4)每組分數(shù)之前(包括這組本身)所有分數(shù)個數(shù)的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方?！　±?，第3組分數(shù)前(包括第3組)所有分數(shù)個數(shù)的和是32=9?！　?102－1－6=13(個)位置上?！　?　　 分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上?！　』蛘?02=100， 100－12=88?！　?00－6＝94， 88＋6＝94?！　栴}(二)：由上述一串分數(shù)個數(shù)的和與組號的關(guān)系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第400個分數(shù)所在的組數(shù)400＝202，分母也是它。　　第400個分數(shù)在第20組分數(shù)中，400是這20組分數(shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即 　　若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個和385個分數(shù)各是多少。　　 　　逆向思考，上述的一串分數(shù)中，分母是35的排在第幾到第幾個？　　352－(352－1)＋1　?。?225－69＋1＝1157?！　∨旁?157－1225個的位置上?！　±?，1989年從小愛數(shù)學邀請賽試題：接著1989后面寫一串數(shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字?！　±纾?9＝72，在9后面寫2，92＝18，在2后面寫8，……得到一串數(shù)：1989286……　　這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？　　先按規(guī)則多計算幾個數(shù)字，得1989286884286884……顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個一組。　　(1989－4)247。6＝330……5　　最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是28688，即第1989個數(shù)字是8。 規(guī) 律　　例1 第六冊P62第14題：選擇“＋、－、247。”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、9?！　?1)2 2 2 2 2＝0　　(2)2 2 2 2 2＝1　　……　　(10)2 2 2 2 2＝9　　解這類題的規(guī)律是：　　先想用兩、三個2列出，結(jié)果為0、2的基本算式：　　2－2＝0，2247。2＝1；　　再聯(lián)想2－2247。2＝1，22247。2＝2，2247。2＋2＝3，……　　每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：　　2247。2＋2247。2－2＝0　　2247。22－2247。2＝1　　2－2＋2247。22＝2　　22＋2247。2－2＝3　　222－2－2＝4　　2－2247。2＋22＝5　　2＋2－2＋