高考數(shù)學(xué)圓錐曲線和解題技巧(編輯修改稿)
2025-05-14 13:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).圓錐曲線問題解題方法 圓錐曲線中的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)、采用多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還須掌握一些方法和技巧。一. 緊扣定義，靈活解題靈活運(yùn)用定義，方法往往直接又明了。例1. 已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點(diǎn)。求的最小值。 解析：如圖所示， 雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，由第二定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離。 二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2. 求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。 解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)） ，而 再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則 消去t，得軌跡方程三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（－3，－3）連線的斜率，如圖所示 四. 應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問題就會(huì)迎刃而解。例4. 已知圓和直線的交點(diǎn)為P、Q，則的值為________。 解： 五. 應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識(shí)的有力工具。例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于一點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上且滿足，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。 分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。 解：如圖，共線，設(shè)，，則， 點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線上 ， 即 化簡整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為： （直線上方部分）六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運(yùn)用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6. 求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為： 則圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為七. 巧用點(diǎn)差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采用點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7. 過點(diǎn)A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)PP2，求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。 解：設(shè)，則 2－1得 即 設(shè)P1P2的中點(diǎn)為，則 又，而PA、M、P
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