[高考數(shù)學(xué)]直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-02-05 16:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ）將拋物線(xiàn) x2=－ y的圖像按向量 a? =（ 4， 16）移動(dòng)后得到函數(shù) y=f(x)的圖像，若 ,ln6)( mxxg ?? 問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) m，使得 y=f（ x）的圖象與 y=g（ x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出 m的值；若不存在，說(shuō)明理由 . 〖解析〗（ 1）所要表示的平面區(qū)域包括邊界，要注意不等式取等號(hào)，由定積分即可求出相應(yīng) 的面積，計(jì)算時(shí)可以整體代入； （ 2）證明拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在以線(xiàn)段 AB 為直徑的圓 C 上，即證明 0OAOB??，圓 C 的圓心的 軌跡可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式利用“代入法”求得； （ 3）構(gòu)造函數(shù) 2( ) ( ) ( ) 8 6 l nx g x f x x x x m? ? ? ? ? ? ?，因?yàn)?0x? ，所以 y=f（ x）的圖 象與 y=g（ x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為函數(shù) ()x? 有兩個(gè)正零點(diǎn)的 問(wèn)題，要對(duì) ()x? 的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而求出使得 ()x? 由兩個(gè)正零點(diǎn)的 m 的取值范圍 解 ： . ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?61313129310131xx23xxxx31xx|x23x3xdx13xxS1349xx1,xx,3xx*xx*013xx013xyxy,xx),y,x(B),y,xA。013xy0xy,013xy:L0m1212122112xx23xx2122121212212221122121?????????????????????????????????????????????????????????????????????????所求區(qū)域面積的兩解，即為方程、則得則由不妨（設(shè)對(duì)應(yīng)的不等式組為故所求區(qū)域的方程為時(shí)，直線(xiàn)當(dāng)? ?? ?? ?12xy,1 2 xy12k2x2xxx2xx2yyy,2k2xxxy ) ,x, AB00,1xx,kxxx,x,01kxx1kxyxy)y,x(B),y,x(A,1kxyL,1m3mk22222122122212121221212121212121222211????????????????????????????????????????????????????為即所求的圓心軌跡方程得則為（為直徑的圓的圓心坐標(biāo)設(shè)以），恒過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)（為直徑的圓以則為其兩解，方程有解，且得：由設(shè)的方程為則直線(xiàn)令（ 3）依題意， f(x)=x2+8x,令 .ln68)()()( 2 mxxxxfxgx ??????? 因?yàn)?x＞ 0，要使函數(shù) f（ x）與函數(shù) g（ x）有且僅有 2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù) mxxxx ???? ln68)( 2? 的圖象與 x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) )0()3)(1(2682682)( 239。 ??????????? xx xxx xxxxx? 當(dāng) x∈（ 0， 1）時(shí)， )(,0)(39。 xx ?? ? 是增函數(shù)； 當(dāng) x∈（ 1， 3）時(shí)， )(,0)(39。 xx ?? ? 是減函數(shù) 當(dāng) x∈（ 3， +∞）時(shí)， )(,0)(39。 xx ?? ? 是增函數(shù) 當(dāng) x=1或 x=3時(shí)， 0)(39。 ?x? ∴ 。7)1()( ?? mx ?? 極大值為 153ln6)3()( ??? mx ?極小值為 又因?yàn)楫?dāng) x→ 0時(shí)， ???)(x? 當(dāng) ?????? )( xx ?時(shí)， 所以要使 0)( ?x? 有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須 ??? ????? ?? 0)1( 0)3(0)3( 0)1(39。 ???? 或 即 ??? ?? ?????? ??? ?? 07 0153ln60153ln6 07 mmmm 或 ∴ m=7或 .3ln615 ??m ∴當(dāng) m=7或 .3ln615 ??m 時(shí)，函數(shù) f（ x）與 g（ x）的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn) . 4．（ 2022年廣東卷，文科， 20） 設(shè) 0b? ，橢圓方程為 2212xybb??，拋物線(xiàn)方程為 2 8( )x y b??．如圖所示，過(guò)點(diǎn)(0 2)Fb?， 作 x 軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為 G ，已知拋物線(xiàn)在點(diǎn) G 的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) 1F ． （ 1）求滿(mǎn)足條件的橢圓方程和拋物線(xiàn)方程； （ 2）設(shè) AB， 分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) P ，使得 ABP△為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）． 〖解析〗（ 1）由已知可求出 G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋
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