[高考數(shù)學(xué)]直線與圓錐曲線綜合問題-免費(fèi)閱讀
【正文】 〖答案〗（ I）證明：由題意設(shè) 211( , )2xAxp， 222( , )2xBx p， 12,xx? 0( , 2 ).M x p? 2 2x py? ， 2 /,2xxyypp?? 12,M A M Bxxkkpp? ? ? 1020: 2 ( ) 。 ???? 或 即 ??? ?? ?????? ??? ?? 07 0153ln60153ln6 07 mmmm 或 ∴ m=7或 .3ln615 ??m ∴當(dāng) m=7或 .3ln615 ??m 時，函數(shù) f（ x）與 g（ x）的圖象有且只有兩個不同交點(diǎn) . 4．（ 2022年廣東卷，文科， 20） 設(shè) 0b? ，橢圓方程為 2212xybb??，拋物線方程為 2 8( )x y b??．如圖所示，過點(diǎn)(0 2)Fb?， 作 x 軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為 G ，已知拋物線在點(diǎn) G 的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn) 1F ． （ 1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （ 2）設(shè) AB， 分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn) P ，使得 ABP△為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）． 〖解析〗（ 1）由已知可求出 G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線在點(diǎn) G的切線方程，進(jìn)而求出 1F 點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程也可以求出 1F 點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出 1b? ，得出橢圓方程和拋物線方程；（ 2）以PAB? 為直角和以 PBA? 為直角的直角三角形顯然各一個，以APB? 為直角的直角三角形是否存在可以轉(zhuǎn)化成 0??PBPA對應(yīng)的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的 P 點(diǎn)的個數(shù) . 〖答案〗（ 1）由 2 8( )x y b??得 218y x b??， 當(dāng) 2yb??得 4x?? ， ?G點(diǎn)的坐標(biāo)為 (4, 2)b? ， 139。 ⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離 . 直線方程是二元一次方程 ,圓錐曲線方程是二元二次方程 ,由它們組成的方程組 ,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程 ,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是 0?? 、0?? 、 0?? . ⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長 直線具有斜率 k ,直線與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y,則它的弦長 上面的公式實質(zhì) 上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的 ,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因為 1 2 1 2()y y x x? ? ?k ，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計算 . 當(dāng)直線斜率不存在是 ,則 12AB y y??. 注 : ，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運(yùn)算； ，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，二是點(diǎn)差法； 參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考 :一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍 ,二是建立不等式，通過解不等式求范圍 . 二．考試探究 圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一 .高考對圓錐曲線的考查，總體上是以知識應(yīng)用和問題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質(zhì)；或給出曲線滿足的條件，判斷（求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系，討論與其有關(guān)的其他問題（如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長、曲線中參變量的取值范圍等）；或考查圓錐曲線與其他知識綜合（如不等式、函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等 ）的問題等 . 1. （ 2022年北京卷，文科， 19） 橢圓 C: 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的兩個焦點(diǎn)為 F1,F2, 點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且1 1 2 1 24 1 4, | | , | | .33P F F F P F P F? ? ? （Ⅰ）求橢圓 C的方程； （Ⅱ）若直線 l過圓 x2+y2+4x2y=0的圓心 M，交橢圓 C于 A、 B兩點(diǎn)，且 A、 B關(guān)于點(diǎn) M對稱，求直線 l的方程 . 〖解析〗（Ⅰ）由橢圓的定義及勾股定理求出 a,b,c 的值即可，（Ⅱ）可以設(shè)出 A、 B 點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立直 線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求出直線方程，也可以利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線方程 . 〖答案〗解法一： (Ⅰ )因為點(diǎn) P在橢圓 C上，所以 62 21 ??? PFPFa ， a=3. 在 Rt△ PF1F2 中， ,52212221 ??? PFPFFF故橢圓的半焦距 c= 5 ,從而 b2=a2－c2=4, 所以橢圓 C的 方程為49 22 yx ?＝ 1. (Ⅱ )設(shè) A， B的坐標(biāo)分別為（ x1,y1）、（ x2,y2） . 已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M的坐標(biāo)為（－ 2， 1） . 從而可設(shè)直線 l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C的方程得（ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因為 A， B關(guān)于點(diǎn) M對稱 . 所以 .294 9182 22
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