[高考數學]直線與圓錐曲線綜合問題-文庫吧
2024-12-25 16:02 本頁面
【正文】 面積公式和點到直線的距離公式可得關于 a， b的方程組， 曲線 1C與坐標軸的交點為橢圓的頂點，顯然 2C 為焦點在 x軸的橢圓； （Ⅱ）（ 1）設出 AB 的方程 ( 0)y kx k??， ()AAAx y， ， ()Mx y， ，聯(lián)立直線與橢圓得到方程組后，由 ( 0)M O OA????可得 M 的軌跡方程，注意 0k? 或不存在時所得方程仍然成立；（ 2）由直線 l 的方程： 1yxk?? 和橢圓方程聯(lián)立后表示出 222 14AM BS AB O M?△由不等式放縮即可求出最小值 . 〖答案〗（Ⅰ）由題意得222 4 5253ababab? ??? ????，．又 0ab?? ，解得 2 5a? ， 2 4b? ． 因此所求橢圓的標準方程 為 22154xy??． （Ⅱ）（ 1）假設 AB 所在的直線斜率存在且不為零，設 AB 所在直線方程為 ( 0)y kx k??， ()AAAx y， ． 解方程組22154xyy kx? ???????，得 222045Ax k? ?， 2222045A ky k? ?， 所以 222 222 2 22 0 2 0 2 0 ( 1 )4 5 4 5 4 5AA kkO A x y k k k?? ? ? ? ?? ? ?． 設 ()Mx y， ，由題意知 ( 0)M O OA????， 所以 222MO OA?? ，即 22 2 222 0 (1 )45 kxy k? ??? ?， 因為 l 是 AB 的垂直平分線，所以直線 l 的方程為 1yxk?? ，即 xk y?? ， 因此22 222 2 2 22 2222 0 1 2 0 ( )4545xy xyxyx yxy??????????? ? ???， 又 220xy??，所以 2 2 25 4 20xy ???，故 22245xy???． 又當 0k? 或不存在時 ，上式仍然成立． 綜上所述， M 的軌跡方程為 22 2 ( 0 )45xy ??? ? ?． （ 2）當 k 存在且 0k? 時，由（ 1）得 222045Ax k? ?， 2222045A ky k? ?， 由221541xyyxk? ?????? ????，解得 2222054M kx k? ?， 222054My k? ?， 所以 22 2222 0 (1 )45AA kO A x y k?? ? ? ?， 22228 0 (1 )4 45 kA B O A k??? ?， 22220(1 )54kOM k?? ?． 解法一：由于 222 14AM BS AB O M?△221 8 0 (1 ) 2 0 (1 )4 4 5 5 4kk??? ? ? 22224 0 0 (1 )(4 5 )(5 4 )kkk?? ??222224 0 0 (1 )4 5 5 42kkk???? ? ?????≥ 222221 6 0 0 (1 ) 4 08 1(1 ) 9kk? ??????? ??， 當且僅當 224 5 5 4kk? ? ? 時等號成立，即 1k?? 時等號成立， 此時 AMB△ 面積的最小值是 409AMBS ?△． 當 0k? ， 1 4 02 5 2 2 529A M BS ? ? ? ? ?△． 當 k 不存在時， 1 4 05 4 2 5A M BS ? ? ? ? ?△． 綜上所述， AMB△ 的面積的最小值為 409 ． 解法二：因為 2 2 2 2221 1 1 120( 1 ) 20( 1 )4 5 5 4kkOA OM? ? ?????2224 5 5 4 92 0 (1 ) 2 0kkk? ? ????， 又221 1 2O A O MO A O M? ≥， 409OA OM ≥ ， 當且僅當 224 5 5 4kk? ? ? 時等號成立，即 1k?? 時等號成立， 此時 AMB△ 面積的最小值是 409AMBS ?△． 當 0k? ， 1 4 02 5 2 2 529A M BS ? ? ? ? ?△． 當 k 不存在時， 1 4 05 4 2 5A M BS ? ? ? ? ?△． 綜上所述， AMB△ 的面積的最小值為 409 ． 3．（廣東省實驗中學 2022屆高三第三次模擬考試，理科， 20） 已知拋物線 x2=－ y，直線 L： (m+1)y+(3m)x+m+1=0 (m∈ R且 m≠－ 1)與拋物線交于 A， B兩點 . （ 1） 當 m=0 時，試用 x,y 的不等式組表示由直線 L 和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區(qū)域 (包邊界 ) ,并求該區(qū)域的面積 . （ 2）求證：對任意不為零的實數 m，拋物線的頂點都在以線段 AB為直徑的圓 C上；并求圓 C的圓心的軌跡方程 . （ 3
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