【正文】 且 0?? 所以 12m??。所以 m 的取值范圍是 (1,2) 。 原點 O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi) ，也可以像第 3 題一樣處理，利用 0OG OH? 且不反向。 5. （ 2020 浙江文數(shù)） （ 22）、 （本題滿分 15 分）已知 m是非零實數(shù)，拋物線 2:2C y ps? （ p0） 的焦點 F 在直線 2:02ml x m y? ? ?上。 （ I）若 m=2，求拋物線 C 的方程 （ II）設(shè)直線 l 與拋物線 C 交于 A、 B，△ A 2AF,△ 1BBF的重心分別為 G,H 求證：對任意非零實數(shù) m,拋物線 C 的準(zhǔn)線與 x 軸的焦點在以線段 GH 為直徑的圓外。 也可以用第 3題的思路 6.（ 2020 全國卷Ⅰ） （本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 如圖，已知拋物線 2:E y x? 與圓 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r? ? ? ?相交于 A、 B、 C、 D四個點。 （Ⅰ）求 r 的取值范圍 （Ⅱ）當(dāng)四邊形 ABCD 的面積最大時，求對角線 AC、 BD 的交點 P 的坐標(biāo)。 解： （Ⅰ） 將 拋物線 2:E y x? 代入 圓 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r? ? ? ?的方程，消去 2y ，整理得 227 16 0x x r? ? ? ?．．．．．．．．．．．．．（ 1） 拋物線 2:E y x? 與圓 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r? ? ? ?相交于 A 、 B 、 C 、 D 四個點 的充要條件是：方程（ 1）有兩個不相等的正根 ∴???????????????016070)16(449221212rxxxxr即???????????442525rrr 或 。解這個方程組得 425 ??r 15( ,4)2r? . （ II） 設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為 11( , )Ax x 、 11( , )B x x? 、 22( , )C x x? 、 22( , )D x x 。 則由 （ I） 根據(jù)韋達定理有 21 2 1 27 , 1 6x x x x r? ? ? ?， 15( ,4)2r? 則2 1 1 2 2 1 1 21 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) 4 ] ( 2 ) ( 7 2 1 6 ) ( 4 1 5 )S x x x x x x x x r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 216 rt??，則 22(7 2 ) (7 2 )S t t? ? ? 下面求 2S 的最大值。 方法 1：由三次均值有： 22 1( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 14 4 )2S t t t t t? ? ? ? ? ? ? 331 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3t t t? ? ? ? ?? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 7 2 14 4tt? ? ? ，即 76t ? 時取最大值。經(jīng)檢驗此時 15( ,4)2r? 滿足題意。 法 2： 設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為 11( , )Ax x 、 11( , )B x x? 、 22( , )C x x? 、 22( , )D x x 則 直線 AC、 BD 的方程分別為 )(),( 112121112121 xxxx xxxyxxxx xxxy ??????????? 解得 點 P 的坐標(biāo)為 )0,( 21xx 。 設(shè) 21xxt? ，由 216 rt ?? 及 （Ⅰ）得 )41,0(?t 由于四邊形 ABCD 為等腰梯形，因而其面積 ||)22(212121 xxxxS ??? 則 ]4))[(2( 2122122112 xxxxxxxxS ????? 將 721 ??xx ， txx ?21 代入上式，并令 2)( Stf ? ，等 )270(34398288)27()27()( 232 ?????????? tttttttf ， ∴ )76)(72(2985624)`( 2 ???????? tttttf ， 令 0)`( ?tf 得 67?t ，或 27??t （舍去）當(dāng) 670 ??t 時， 0)`( ?tf ；當(dāng) 67?t 時0)`( ?tf ；當(dāng) 2767 ??t 時， 0)`( ?tf 故當(dāng)且僅當(dāng) 67?t 時， )(tf 有最大值，即四邊形ABCD 的面積最大，故所求的點 P 的坐標(biāo)為 )0,67( 7. (2020 湖北卷理 )（本小題滿分 14 分） （注意： 在試題卷上作答無效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 過拋物線 2 2 ( 0)y px p??的對稱軸上一點 ? ?? ?,0 0A a a ? 的直線與拋物線相交于 M、N 兩點，自 M、 N 向直線 :l x a?? 作垂線，垂足分別為 1M 、 1N 。 （Ⅰ）當(dāng) 2pa? 時，求證： 1AM ⊥ 1AN ； （Ⅱ）記 1AMM? 、 11AMN? 、 1ANN? 的面積分別為 1S 、 2S 、 3S ，是否存在 ? ，使得對任意的 0a? ，都有 22 1 2S SS?? 成立。若存在，求出 ? 的值；若不存在，說明理由。 解：依題意，可設(shè)直線 MN 的方程為 1 1 2 2, ( , ) , ( , )x m y a M x y N x y?? ，則有 21世紀(jì)教育網(wǎng) 12( , ), ( , )M a y N a y??由 2 2x my ay px???? ?? 消去 x 可得 2 2 2 0y m py ap? ? ? 從而有 121222y y mpy y ap???? ??? ① 于是 21 2 1 2( ) 2 2 ( )x x m y y a m p a? ? ? ? ? ? ② 又由 2112y px? ， 2122y px? 可得 2 2 21212 22() ( 2 )44yy apx x app?? ? ? ③ （ Ⅰ）如圖 1，當(dāng)2pa?時，點 ( ,0)2pA即為拋物線的焦點， l 為其準(zhǔn)線2px?? 此時1 1 1 2( , ) , ( , ) ,22PPM y N y?? 并 由 ①可得 212y y p?? 證法 1： 1 1 1 2( , ) , ( , )A M p y A N p y? ? ? ?uuuuv uuuvQ 2 2 21 1 1 2 1 10,A M A N p y y p p A M A N? ? ? ? ? ? ? ?u u u uv u u uv 即 21世紀(jì)教育網(wǎng) 證法 2：1112,A M A NyyKKpp? ? ? ?Q 112121122 1,A M A N yy pK K A M A Npp? ? ? ? ? ? ? ?即 . (Ⅱ )存在 4?? ，使得對任意的 0a? ，都有 22 1 34S SS? 成立，證明如下： 證法 1：記直線 l 與 x 軸的交點為 1A ,則 1OA OA a??。于是有 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 23 1 1 1 2 211 )221211 )22S M M A M x a yS M N A A a y yS NN A N x a y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（（ 2 1 3 1 2 1 1 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( )[ ( ) 4 ] [ ( ) ]S S S a y y x a y x a ya y y y y x x a x x a y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 將①、②、③代入上式化簡可得 2 2 2 2 2 2 2( 4 8 ) 2 ( 2 4 ) 4 ( 2 )a m p a p a p a m p a a p m p a? ? ? ? ? 上式恒成立，即對任意 22 1 30, 4a S S S??成立 證法 2：如圖 2，連接 11,MN NM ,則由 21 2 1 12 , 2y y a p y p x? ? ?可得 11 2 2 21 1 1 2222 2O M O Ny py py ypKKx y y y ap a? ? ? ? ? ???,所以直線 1MN 經(jīng)過原點 O， 同理可證直線 1NM 也經(jīng)過原點 O 又 1OA OA a??設(shè) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2, , , ,M A h N A h M M d N N d? ? ? ?則 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 21 1 1, 2 ( ) ( ) , .2 2 2S d h S a h h a h h S d h? ? ? ? ? ? ? 8. （ 2020全國卷 1 理數(shù)） （ 21） (本小題滿分 12 分 ) 已知拋物線 2:4C y x? 的焦點為 F，過點 ( 1,0)K? 的直線 l 與 C 相交于 A 、 B 兩點，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 D. （Ⅰ）證明：點 F 在直線 BD 上； （Ⅱ）設(shè) 89FAFB? ，求 BDK? 的內(nèi)切圓 M 的方程 . 9. （ 2020全國卷 2 理數(shù)） （ 21）（本小題滿分 12 分） 己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C： ? ?22 1 0 0xy abab?? ＞ ， ＞相交于 B、 D 兩點，且BD 的中點為 ? ?1,3M ． （Ⅰ）求 C 的離心率； （Ⅱ）設(shè) C 的右頂點為 A， 右焦點為 F， 17DF BF ? ，證明：過 A、 B、 D 三點的圓與x 軸相切． 【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定 . 用焦半徑不行嗎？ 10.（ 2020 山東文數(shù)） （ 22）（本小題滿分 14 分） 如圖，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?過點 . 2(1, )2 ，離心率為 22 ，左、右焦點分別為1F 、 2F .點 P 為直線 :2l x y?? 上且不在 x軸上的任意 一點，直線 1PF 和 2PF 與橢圓的交點分別為 A 、 B 和 C 、 D ， O 為坐標(biāo)原點 . （ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ II）設(shè) 直線 1PF 、 2PF 的斜線分別為 1k 、 2k . （ i）證明：12132kk??； （ ii）問直線 l 上是否存在點 P ，使得直線 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 OAk 、 OBk 、OCk 、 ODk 滿足 0O A O B O C O Dk k k k? ? ? ?？若存在，求出所有滿足條件的點 P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 題型二：出現(xiàn) AB AC?? 情形，兩根的關(guān)系不能直接使用使用韋達定理，可將兩根的關(guān)系帶入韋達定理。聯(lián)考中葉是經(jīng)常出現(xiàn)的。 （ 2020 遼寧文數(shù)） （ 20）（本小題滿分 12分） 設(shè) 1F ， 2F 分別為橢圓 22:1xyC ab??( 0)ab?? 的左 、 右焦點，過 2F 的直線 l 與橢圓C 相交于 A ,B 兩點，直線 l 的傾 斜角為 60 ， 1F 到直線 l 的距離為 23. （ Ⅰ ） 求橢圓 C的焦距； （ Ⅱ ） 如果 222AF FB? ,求橢圓 C的方程 . 解： （ Ⅰ ） 設(shè)焦距為 2c ，由已知可得 1F 到直線 l 的距離 3 2 3 , ??故 所以橢圓 C 的焦距為 4. （Ⅱ）設(shè) 1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) , 0 , 0 ,A x y B x y y y??由 題 意 知直線 l 的方程為 3( 2).yx?? 聯(lián)立 2 2 2 2 422223 ( 2 ) ,( 3 ) 4 3 3 0 .1yxa b y b y bxyab? ???? ? ? ?? ????得 解得 22122 2 2 23 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ),.33b a b ayya b a b? ? ? ????? 因為 2 2 1 22 , 2 .A F F B y y? ? ?所 以 即 222 2 2 23 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ) a b aa b a b? ? ????? 得 223. 4 , 5 .a a b b? ? ? ?而 所 以 故橢圓 C 的方程為 ??