21直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2025-01-02 21:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn) B ，且 BF1 + BF2 =10，橢圓上不同的兩點(diǎn) ),(),( 2211 yxCyxA ，滿足條件 AF2 、 CF2 成等差數(shù)列． (1)求該橢圓的方程； (2)求弦 AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (3)設(shè)弦 AC 的垂直平分線的方程為 mkxy ?? ，求 m 的取值范圍． 分析 ： 本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力 ． 解： (1)由橢圓定義及條件知： BFa 12 ? + BF2 =10．∴ a =5,又 c =4，∴ 22 cab ?? =3． ∴橢圓方程為 252x + 92y =1． (2)∵ ),4( ByB 在橢圓上，∴ BF2 = By =59 ． 法一：∵右準(zhǔn)線為 425?x ,離心率 54?e ，∴ AF2 =54 ( )4251x?, CF2 =54 ( )4252x? 由 AF2 、 BF2 、 CF2 成等差數(shù)列，得 54 ( )4251x?+ 54 ( )4252x?=2 59 ∴ 821 ??xx ． 設(shè)弦 AC 中點(diǎn) ),( 00 yxP ，則 2 210 xxx ??=28 =4． 法二：由 AF2 、 BF2 、 CF2 成等差數(shù)列，得 2121 )4( yx ?? + 2222 )4( yx ?? =2 59 ① ∵ ),( 11 yxA 在橢圓 252x + 92y =1上，∴ y21 = )25(259 2121 xy ??(25x21 )． ∴ AF2 = 2121 )4( yx ?? = )25(259168 21121 xxx ????= 21)545( x?= )425(51 1x? ② 設(shè) ),( 22 yxC ，同理可得 CF2 = 2222 )4( yx ?? = )425(51 2x? ③ 將②、③代入①，得 )425(51 1x?+ )425(51 2x?=518 ∴ 821 ??xx ． 設(shè)弦 AC 中點(diǎn) ),( 00 yxP ，則2 210 xxx ??=28=4． (3)法一：由 ),(),( 2211 yxCyxA 在橢圓 259259 22 ??? yx 上， ∴ 259259 2121 ??? yx ④ 259259 2121 ??? yx ⑤ 由④ ⑤，得 9( 2221 xx ? )+25( 2221 yy ? )=0∴ 9 2 21 xx? +25 2 21 yy? 2121 xx yy?? =0(1x ≠ 2x ) 將 2 21 xx? = 0x =4， 2 21 yy? = 0y ，2121 xx yy?? =k1 (k ≠ 0)代入上式，得 02549 y?? ( k1? )=0(k ≠ 0) , 由上式得 03625yk? (當(dāng) k =0時(shí)也成立 )， 由點(diǎn) ),4( 0yP 在弦 AC 的垂直平分線上，得 mk
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