[高考數(shù)學]高三數(shù)學一輪復習必備精品34：直線與圓錐曲線的位置關系(編輯修改稿)
2025-02-07 00:59 本頁面
【文章內容簡介】 有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。 （ 2）直線 1??kxy 與雙曲線 13 22 ??yx 相交于 A、 B 兩點，當 a 為何值時， A、 B 在雙曲線的同一支上？當 a 為何值時， A、 B 分別在雙曲線的兩支上？ 解析：（ 1） 解：若直線的斜率不存在時，則 7x? ，此時僅有一個交點 ( 7,0) ，滿足條件； 5 若直線的斜率存在時，設直線的方程為 5 ( 7 )y k x? ? ? 則 57y kx k? ? ? ， 22( 5 7 ) 17 2 5x kx k????， ∴ 2225 7 ( 5 7 ) 7 25x k x k? ? ? ? ?， 2 2 2( 25 7 ) 7 2 ( 5 7 ) ( 5 7 ) 7 25 0k x k x k k? ? ? ? ? ? ? ? ?， 當 577k? 時，方程無解，不滿足條件； 當 577k?? 時， 2 5 7 10 75x? ? ?方程有一解，滿足條件； 當 2 257k ? 時，令 2 2 2[ 14 ( 5 7 ) ] 4( 25 7 ) [ ( 5 7 ) 16 5 ] 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 化簡得： k 無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條 7x? 和 57 107yx? ? ? 。 （ 2）把 1??kxy 代入 13 22 ??yx 整理得： 022)3( 22 ???? axxa ?? （ 1） 當 3??a 時， 2424 a??? 。 由 ? 0 得 66 ??? a 且 3??a 時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。 若 A、 B 在雙曲線的同一支，須 32221 ?? axx0 ，所以 3??a 或 3?a 。 故當 36 ???? a 或 63a? 時， A、 B 兩點在同一支上；當 33 a?? 時， A、 B 兩點在雙曲線的兩支上。 點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有 兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條 例 5． （ 1）求直線 1yx??被雙曲線 22 14yx ??截得的弦長； （ 2）求過定點 (0,1) 的直線被雙曲線 22 14yx ??截得的弦中點軌跡方程 解析：由22 141yxyx? ???????? 得 224 ( 1) 4 0xx? ? ? ?得 23 2 5 0xx? ? ? （ *） 設方程（ *）的解為 12,xx，則有 1 2 1 225,33x x x x? ? ? ? 得， 21 2 1 2 1 2 4 2 0 82 | | 2 ( ) 4 2 29 3 3d x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設直線的 方程為 1y kx??，它被雙曲線截得的弦為 AB 對應的中點為 ( , )Pxy ， 6 由22114y kxyx????? ???? 得 22( 4 ) 2 5 0k x kx? ? ? ?（ *） 設方程（ *）的解為 12,xx，則 224 2 0 ( 4 ) 0kk? ? ? ? ?， ∴ 216 80 ,| | 5kk??， 且 1 2 1 22225,44kx x x xkk? ? ? ???， ∴ 1 2 1 2 1 2221 1 1 4( ) , ( ) ( ) 12 4 2 2 4kx x x
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