天津市屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：圓錐曲線(含答案)(編輯修改稿)
2025-02-03 23:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，消去 y，整理得 223 2 5 0x cx c? ? ?，解得53xc??或 ?，因為點 M在第一象限，可得 M的坐標為23, 3cc??????，由22 2 3 4 3( ) 033FM c c c??? ? ? ? ?????，解得 1c?，所以橢圓方程為22132xy?? (III)設(shè)點 P的坐標為(, )xy，直線 FP的斜率為 t，得 1yt x? ?，即( 1)y t x??( 1)??,與橢圓方程聯(lián)立( 1)132y t xxy????? ????，消去 y，整理得2 2 22 3 ( 1) 6x t x? ? ?，又由已知，得2262 23( 1)xt x????，解得 3 12 x? ? ??或 10x? ? ?， 設(shè)直線 OP的斜率為 m，得ym x?，即( 0)y mx x??，與橢圓 方程聯(lián)立，整理可得2 2223m x??. ① 當3,12x ??? ? ?????時，有( 1) 0y t x? ? ?，因此 0m?，于是2223m x??，得2 2 3,33 ② 當? ?1,0x??時，有( 1) 0y t x? ? ?，因此 0m?，于是2223m x?? ?，得23, 3m ? ?? ? 綜上，直線 OP的斜率的取值范圍是2 3 2 2 3,3 3 3? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? 考點： ； ； . 解：（Ⅰ）∵ ? ? ? ?40 , , , , , 033bA b P F c??????， ∴ ? ? 4, 0 , ,33bF A c F P c??? ? ? ?????．…………………………………………………………… 1 分 由 0FA FP??，得 22 4 033bcc? ? ?．……………………………………………………… 2 分 由點 P 在橢圓 C 上，得 22216 199bab??，解得 2 2a? ． 再由22224 0,332,bcccb? ? ? ???????解得 21, 1cb??． ∴橢圓 C 的方程為 2 2 12x y??．……………………………………………………… 5 分 （Ⅱ）當直線 l 的斜率存在時，設(shè)其方程為 y kx m??，代入橢圓方程，消去 y ， 整理，得 ? ?2 2 22 1 4 2 2 0k x k m x m? ? ? ? ?．………………………………………… 6 分 由 2216 8 8 0km? ? ? ? ?，得 2221mk??．………………………………… 8 分 假設(shè)存在著定點 ? ? ? ?1 1 2 2, 0 , , 0MM??滿足題設(shè)條件． 1M 、 2M 到直線 l 的距離分別為 1d 、 2d ， 則由 ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 21212 2221 111 k k mk m k mdd kk ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? 對于 kR?? 恒成立，可得 12122 1,0,???????? ???……………………………………………………… 10 分 解得 121,1,????? ???或 121,1.?????? ??故 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0MM?滿足條件．…………………………… 12 分 當直線 l 的斜率不存在時，經(jīng)檢驗， 12,MM仍符合題意．……………………………… 14 分 解 ：（ Ⅰ ）如圖，圓 E 經(jīng)過橢圓 C 的左、右焦點 12FF， ， ∴ 2219(0 )24c ? ? ?，解得 2c? ． ∵ 1F E A， ， 三點共線， ∴ 1AF 為圓 E 的直徑． ∴ 2 1 2AF FF? ． ∵ 2 2 22 1 1 2 9 8 1A F A F F F? ? ? ? ?， ∴ 12 3 1 42 AF AFa ? ? ? ?? ． ∴ 2a? ． 由 2 2 2+a b c? ， 得 2b? ． ∴ 橢圓 C 的方程為 22142xy??． …………… 5 分 （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）得，點 A 的坐標為 ( 21)， ， ∵ λ (λ 0)MN OA?? ∴ 直線 l 的斜率為 22，設(shè)直線 l 的方程為 22y x m??. 聯(lián)立2222142y x mxy? ?????? ???? ， 得 222 2 0x m x m? ? ? ?． 設(shè) 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ， 由 22( 2 ) 4( 2) 0mm? ? ? ? ?，得 22m? ? ． ∵ 1221222x x mx x m? ? ? ??? ????， ∴ 2 222 2 211 1 ( ) 4 2 32M N k x x x x x x m? ? ? ? ? ? ? ? ?１ １ １= １. 又點 A 到直線 l 的距離為 63dm=， 222221 1 6232 2 32 2 ( 4 )( 4 ) 22 2 2AM NS MN d m mmmmm? ? ? ? ???? ? ?１≤ ， 當且僅當 224 m =m? ，即 2m?= 時，等號成立． ∴ 直線 l 的方程為 2 22yx?? 或 2 22yx??． …………… 1 3 分 解： （ Ⅰ ） ∵ 22b? ， ∴ 1b? ． …… 1 分 又 22ce a??， 2 2 2a b c??， ∴ 2 2a? ． ……3 分 ∴ 橢圓 C 的方程為 2 2 12x y??． …… 4 分 （ Ⅱ ）（ i） ∵ 直線 l ： y=kx+m 與圓 2223x +y ? 相切， ∴2231md k??? ，即 222 (1 )3mk??． ……5 分 由2 2 12y=kx+mxy???????， 消去 y 并整理得， 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m? ? ? ? ?． 設(shè) 11()Ax y， ， 22()Bx y， ， 則 12 2212 24122212kmx + x =+kmx x =+k??????? ． …… 7 分 ∵ 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )O A O B = x x + y y = x x + k x + m k x + m? ． 221 2 1 2( 1 ) ( )= + k x x + k m x + x + m 2222 2 4( 1 ) ( )1 2 1 2m k m= + k + k m + m+ k + k 2 2 2 2223 2 2 2 ( 1 ) 2 2 01 2 1 2m k + k k= = =+ k + k ， ∴ OA OB? ． … … 9 分 （ ii） ∵ 直線 l ： y=kx+m 與橢圓交于不同的兩點 AB， ， ∴ 2222121211xx+ y = + y =，． ∴222 122 112 2 222222213 2 32 13 23
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