北京市屆高三數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：數(shù)列(編輯修改稿)
2025-02-10 15:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案一、選擇、填空題【答案】6【解析】試題分析：∵是等差數(shù)列，∴，，∴，故填：6．C解析： 由等差數(shù)列的性質(zhì)，，于是有，故．故，為的前 項(xiàng)和中的最大值, A B BB A C 1B 1 118二、解答題【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.如果，取，則對(duì)任何.從而且.又因?yàn)槭侵械淖畲笤?，所?解析:（Ⅰ），．（Ⅱ）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是的倍數(shù)．由 可歸納證明對(duì)任意，是的倍數(shù)．如果，則的所有元素都是的倍數(shù)．如果，因?yàn)榛?，所以是的倍?shù)，于是是的倍數(shù)．類似可得，都是的倍數(shù)．從而對(duì)任意，是的倍數(shù)．因此集合的所有元素都是的倍數(shù)．綜上，若集合存在一個(gè)元素是的倍數(shù)，則集合的所有元素都是的倍數(shù)．（Ⅲ）由，可歸納證明．因?yàn)槭钦麛?shù)， 所以是的倍數(shù)．從而當(dāng)時(shí)，是的倍數(shù)．如果是的倍數(shù)，由（Ⅱ）知對(duì)所有正整數(shù)，是的倍數(shù)．因此當(dāng)時(shí)，．這時(shí)的元素的個(gè)數(shù)不超過．如果不是的倍數(shù)，由（Ⅱ）知對(duì)所有正整數(shù)，不是的倍數(shù)．因此當(dāng)時(shí)，．這時(shí)的元素的個(gè)數(shù)不超過．當(dāng)時(shí)，共個(gè)元素．綜上可知，集合元素個(gè)數(shù)的最大值為．⑴,。⑵當(dāng)時(shí)：，；，；因?yàn)槭侵凶钚〉臄?shù)，所以，從而；當(dāng)時(shí)，；，；因?yàn)槭侵凶钚〉臄?shù)，所以，從而。綜上，這兩種情況下都有。⑶數(shù)列序列，，的的值最??；，，.證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，,則, 且對(duì)，都有，所以具有性質(zhì)．相應(yīng)的子集為，． ………… 3分（Ⅱ）①若,由已知,又,所以．所以． ②若,可設(shè)，,且， 此時(shí)． 所以，且．所以．③若, ,，則,所以．又因?yàn)?，所以．所以．所以．綜上，對(duì)于，都有． …………… 8分（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，命題成立，即集合具有性質(zhì)．（2）假設(shè)()時(shí)，命題成立．即，且，都有．那么 當(dāng)時(shí)，記,， 并構(gòu)造如下個(gè)集合：,， 顯然．又因?yàn)?，所以?下面證明中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一元素． ①若兩個(gè)元素,則,所以． ②若兩個(gè)元素都屬于,由（Ⅱ）可知，中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一數(shù)．從而，時(shí)命題成立．綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)．………………………13分（Ⅰ）由以及可得：所以從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列. 經(jīng)過驗(yàn)證為等比數(shù)列. 2分(Ⅱ)由于所以有.令則有疊加得： 所以有，疊加可得：，所以最小值為5.
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