【文章內(nèi)容簡介】 弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程．解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：．所以，．雙曲線的漸近線的方程為：．（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：．把直線的方程代入雙曲線方程，整理得．則 （＊）∵ ，共線且在線段上，∴ ，即：，整理得：將（＊）代入上式可解得：．所以，雙曲線的方程為．（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡．設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則．兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，．所以，橢圓S的方程為：．點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）．【例6】 設(shè)拋物線過定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線．（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍． 解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為．由拋物線的定義可知：． 所以，． 所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： ． （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定．所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手．顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：．（＊） 又線段恰被直線平分，所以，． 所以，． 代入（＊）可解得：．下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)．在中，令，可解得：．將點(diǎn)代入，可得：．所以，．從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個有關(guān)參量的不等式．從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于，代入上式得：．又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，．所以，．由點(diǎn)在線段BB’上（B’、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，．也即：．所以，點(diǎn)評：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點(diǎn)問題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．從構(gòu)造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價的．【例7】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．又M是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)．試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．　　證明　依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過點(diǎn)F（，0）”得　?。?將上式代入拋物線中得：可知　又依“及”可知　因此　而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．【例8】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km≠0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標(biāo)代入，化簡得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3 +x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱. (1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點(diǎn)的坐標(biāo).直線與圓錐曲線參考答案一、：弦長|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,：B二、：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案：②③④：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|：18或50：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－：8x－y－15=0三、：(1)設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而S△NAB=當(dāng)a有最大值－時，S有最大值為p2.：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在.：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=177。1.即漸近線為y=177。x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2.(2)設(shè)直線l：y=k(x－)(0＜k＜1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.設(shè)直線l′：y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②把l′代入雙曲線方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.：涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例9】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得mn= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例10】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1x2=m2,∴|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例11】 已知雙曲線C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(diǎn)(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠177。時Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有一個實(shí)根，l與C有一個交點(diǎn).②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠177。,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點(diǎn)；當(dāng)k＞時，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為177。,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例12】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為B，