高三數(shù)學(xué)圓錐曲線(編輯修改稿)
2024-12-16 00:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則 λ ＝| BE→|| BF→|. 由此可得 BE→＝ λ BF→， ∴ λ ＝x1－ 2x2－ 2且 0 ＜ λ ＜ 1. 由 ④ 知 ( x1－ 2) ＋ ( x2－ 2) ＝－ 42 k2＋ 1， ( x1－ 2 )( x2－ 2) ＝ x1x2－ 2( x1＋ x2) ＋ 4 ＝22 k2＋ 1. ∴λ( 1 ＋ λ )2 ＝2 k2＋ 18，即 k 2＝4 λ( 1 ＋ λ )2 －12. ∵ 0 ＜ k2＜12， ∴ 0 ＜4 λ( 1 ＋ λ )2 －12＜12. 解得 3 － 2 2 ＜ λ ＜ 3 ＋ 2 2 . 又 ∵ 0 ＜ λ ＜ 1 ， ∴ 3 － 2 2 ＜ λ ＜ 1. ∴△ O BE 與 △ O B F 面積之比的取值范圍是 (3 － 2 2 ， 1) ． ? 解決圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題常見(jiàn)的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法．若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法． ? 在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： ? (1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ? (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； ? (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； ? (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； ? (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 1 ．在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0 ，2 ) 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓x22＋ y2＝ 1有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P 和 Q . (1 ) 求 k 的取值范圍； (2 ) 設(shè)橢圓與 x 軸正半軸、 y 軸正半軸的交點(diǎn)分別是 A 、 B ，是否存在常數(shù) k ，使得向量 OP→＋ OQ→與 AB→共線？如果存在，求 k 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】 (1 ) 直 線 l ： y ＝ kx ＋ 2 代入橢圓的方程得， ( k2＋12) x2＋ 2 2 kx ＋ 1 ＝ 0. Δ ＝ (2 2 k )2－ 4( k2＋12) ＞ 0 ， 解得 k ＞22或 k ＜－22. ∴ k 的取值范圍為 ( － ∞ ，－22) ∪ (22，＋ ∞ ) (2 ) 設(shè) P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 則 OP→＋ OQ→＝ ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ， 由方程 ① 知， x 1 ＋ x 2 ＝－4 2 k1 ＋ 2 k2 ② 又 y1＋ y2＝ k ( x1＋ x2) ＋ 2 2 ③ 所以 OP→＋ OQ→與 AB→共線等價(jià)于 x1＋ x2＝－ 2 ( y1＋ y2) ， 將 ②③ 代入上式，解得 k ＝22. 由 ( 1 ) 知 k ＜－22或 k ＞22，故不存在常數(shù) k ，使得向量 OP→＋ OQ→與 AB→共線． 軌跡問(wèn)題 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中， 拋物線 y ＝ x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn) A 、 B ，滿足 OA→ OB→＝ 0 ，求 △ AO B 的重心 G的軌跡方程． 【思路點(diǎn)撥】 設(shè)出線段 OA 所在直線的方程，利用條件 OA→ OB→＝ 0 寫(xiě)出相應(yīng) OB所在直線的方程．應(yīng)用 △ AO B 的重心坐標(biāo)公式消參求解． 【解析】 以 OA 的斜率 k ( k ≠ 0) 為參數(shù)， 由????? y ＝ kx ，y ＝ x2 解得 A ( k ， k2) ． 因?yàn)?OA ⊥ OB ，所以 OB 的方程為 y ＝－1kx . 由????? y ＝－1kx ，y ＝ x2.解得 B ( －1k，1k2 ) ． 設(shè) △ AO B 的重心 G ( x ， y ) 則??????? x ＝13( k －1k) ，y ＝13( k2＋1k2 ) ， 消去參數(shù) k 得重心 G 的軌跡方程為 y ＝ 3 x2＋23. ? 用參數(shù)法求軌跡是高考中常考的題型，由于選參靈活，技巧性強(qiáng)，因此也是同學(xué)們較難掌握的一類(lèi)問(wèn)題，用參數(shù)法求軌跡方程的基本步驟：建系 — 設(shè)標(biāo) — 引參 — 求參數(shù)方程 — 消參 — 檢驗(yàn)，選用什么變量為參數(shù)，要看動(dòng)點(diǎn)隨什么量的變化而變化，常見(jiàn)的參數(shù)有：斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等． ? 2． M是拋物線 y2＝ x上一動(dòng)點(diǎn)，以 OM為一邊 (O為原點(diǎn) )，作正方形 MNPO，求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程． 【解析】 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P ( x ， y ) ， M ( x 0 ，y 0 ) ∵ 正方形 MN P O ， ∴ 有????? x20 ＋ y20 ＝ x2＋ y2①yxy 0x 0＝－ 1 ② 又點(diǎn) M ( x0， y0) 在拋物 線 y2＝ x 上， ∴ 得： y20＝ x0③ 由 ② 得： y0＝－x0xy，代入 ③ 得 x0＝x20x2y2 ， ∴ x 0 ＝y(tǒng)2x2 ④ 將 ③ 代入 ① ，得 x20＋ x0＝ x2＋ y2⑤ 將 ④ 代入 ⑤ ，得：y4x4 ＋y2x2 ＝ x2＋ y2， 化簡(jiǎn)，得 y2＝ x4， ∴ x2＝ 177。 y ( y ≠ 0) 為所求軌跡方程 ． (1 2 分 )( 2 0 0 8 年江西高考 ) 已知拋物線 y ＝x2和三個(gè)點(diǎn) M ( x 0 ， y 0 ) 、 P (0 ， y 0 ) 、 N ( － x 0 ，y 0 )( y 0 ≠ x20 ， y 0 ＞ 0) ， 過(guò)點(diǎn) M 的一條直線交拋物線于 A 、 B 兩點(diǎn) ， AP 、 BP 的延長(zhǎng)線分別交拋物線于點(diǎn) E 、 F . ? (1)證明 E、 F、 N三點(diǎn)共線； ? (2)如果 A、 B、 M、 N四點(diǎn)共線，問(wèn)：是否存在 y0，使以線段 AB為直徑的圓與拋物線有異于 A、 B的交點(diǎn)？如果存在，求出 y0的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線 AB的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． ? 【 思路點(diǎn)撥 】 證明三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn) N在 EF所在的直線上；證明存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，再根據(jù)題意推理論證假設(shè)是否成立． 【規(guī)范解答】 ( 1 ) 證明：設(shè) A ( x 1 ， x21 )
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