圓錐曲線定點(diǎn)問題(編輯修改稿)
2024-09-01 04:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 F1AF2中 ， 由余弦定理可得 | F1A |2＋ | F2A |2－ 2| F1A | | F2A | c o s 6 0 176。 ＝ 4 c2， 又 | AF1|＋ | AF2|＝ 2 a ， 可得 a2－ c2＝ 3 ， ② 聯(lián)立 ①② 得 a2＝ 4 ， c2＝ 1. ∴ b2＝ 3 ， ∴ 橢圓 C 的方程為x24＋y23＝ 1. (2 ) 設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0) ， 由???y ＝ kx ＋ m ，x24＋y23＝ 1 得 (4 k2＋ 3) x2＋ 8 k m x ＋ 4 m2－ 12 ＝ 0 ， 由題意知 Δ ＝ 64 k2m2－ 4 (4 k2＋ 3 )(4 m2－ 12) ＝ 0 ， 化簡得 4 k2－ m2＋ 3 ＝ 0 ， ∴ x0＝－4 km4 k2＋ 3＝－4 km， y0＝3m， ∴ P??????－4 km，3m. 由??? y ＝ kx ＋ m ，x ＝ 4得 Q (4 ， 4 k ＋ m ) ， 假設(shè)存在點(diǎn) M ， 坐標(biāo)為 ( x1， 0 ) ， 則 MP→＝??????－4 km－ x1，3m， MQ→＝ (4 － x1， 4 k ＋ m ) . ∵ 以 PQ 為直徑的圓恒過 M 點(diǎn) ， ∴ MP→ MQ→＝ 0 ， 即－16 km＋4 kx1m－ 4 x1＋ x21＋12 km＋ 3 ＝ 0 ， ∴ (4 x1－ 4)km＋ x21－ 4 x1＋ 3 ＝ 0 對任意 k ， m 都成立 . 則??? 4 x1－ 4 ＝ 0 ，x21－ 4 x1＋ 3 ＝ 0 ，解得 x1＝ 1 ， 故存在定點(diǎn) M (1 ， 0 ) 符合題意 . 定點(diǎn)問題的常見解法： (1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo) ， 根據(jù)題意選擇參數(shù) ，建立一個(gè)直線系或曲線系方程 ， 而該方程與參數(shù)無關(guān) ， 故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組 ， 以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)； (2)從特殊位置入手 ，找出定點(diǎn) ， 再證明該點(diǎn)適合題意 . 練習(xí) ： 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) A ( 4 , 0 ) ，且在 y 軸上截得弦 MN 的長為 8. ( 1 ) 求動圓圓心的軌跡 C 的方程； ( 2 ) 已知點(diǎn) B
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