圓錐曲線幾何問題的轉(zhuǎn)換(編輯修改稿)
2025-04-21 00:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 坐標原點.（1）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且不垂直軸的直線交橢圓于兩點，若直線繞點任意轉(zhuǎn)動，恒有, 求的取值范圍.解：（1）由圖可得： 由正三角形性質(zhì)可得： 橢圓方程為： （2）設(shè)， 為鈍角 聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得： 恒成立即恒成立 解得： 的取值范圍是 例4：設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為 （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點的任意一點， 若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內(nèi) 解：（1）依題意可得，且到 右焦點距離的最小值為 可解得： 橢圓方程為 （2）思路：若要證在以為直徑的圓內(nèi)，只需證明為鈍角，即為銳角，從而只需證明，因為坐標可求，所以只要設(shè)出直線（斜率為） ，聯(lián)立方程利用韋達定理即可用表示出的坐標，從而可用表示。即可判斷的符號，進而完成證明解：由（1）可得，設(shè)直線的斜率分別為， ，則 聯(lián)立與橢圓方程可得：，消去可得： ，即 設(shè)，因為在直線上，所以，即 為銳角， 為鈍角 在以為直徑的圓內(nèi)例5：如圖所示，已知過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，與橢圓的交點為，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由解：依題意可知拋物線焦點，設(shè) ，不妨設(shè)則 設(shè) 考慮聯(lián)立直線與拋物線方程： ，消去可得： ①聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得： ②由①②可得：，解得： 所以存在滿足條件的直線，其方程為： 例6：在平面直角坐標系中，已知拋
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