圓錐曲線中的最值問題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 _____．[答案] (0,0) [解析] 設(shè)P，則＝，＝，＝＋y2＝＋y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時取等號，此時點P的坐標(biāo)為(0,0)． 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。（Ⅰ）求r的取值范圍 （Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)。解：（Ⅰ）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根∴即。解這個方程組得.（II）設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法2：設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點P的坐標(biāo)為。設(shè)，由及（Ⅰ）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，∴，令得，或（舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標(biāo)為。 已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；（解 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又，由得故，又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立 時，線段的長度取最小值已知以原點為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如題（20）圖，點的坐標(biāo)為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標(biāo)； 解 （Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為.（Ⅱ）設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點A、D為雙曲線的焦點，所以 ，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故 從而當(dāng)在線段CD上時取等號，此時的最小值為直線CD的方程為，因點M在雙曲線右支上，故由方程組 解得 所以點的坐標(biāo)為. 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程和△AMN的最大面積 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1x2=m2,∴|MN|=4 點A到直線l的距離為d= ∴=2(5+m),從而 ∴
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