圓錐曲線中的存在、探索問題(編輯修改稿)
2025-08-21 00:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為F′(－2,0)．從而有解得又a2＝b2＋c2,所以b2＝12,故橢圓C的方程為＋＝1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,設(shè)其方程為y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]因為直線l與橢圓C有公共點,所以Δ＝(3t)2－43(t2－12)≥0,解得－4≤t≤4.另一方面,由直線OA與l的距離d＝4,得＝4,解得t＝177。2.[來源:學(xué)167。科167。網(wǎng)]由于177。2?[－4,4 ],所以符合題意的直線l不存在．(四) 是否存在圓【例4】已知橢圓過點,其焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為,則橢圓在其上一點處的切線方程為,試運用該性質(zhì)解決以下問題：（i）如圖（1）,點為在第一象限中的任意一點,過作的切線,分別與軸和軸的正半軸交于兩點,求面積的最小值；學(xué)科=網(wǎng)（ii）如圖（2）,過橢圓上任意一點作的兩條切線和,切點分別為．當(dāng)點在橢圓上運動時,是否存在定圓恒與直線相切？若存在,求出圓的方程；若不存在,請說明理由．【分析】（1）設(shè)橢圓的方程,用待定系數(shù)法求解即可；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點,而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率,點不定,可由點斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論．在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問題時,要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題,特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此．【解析】（I）解：依題意得：橢圓的焦點為,由橢圓定義知： ,所以橢圓的方程為． （II）（?。┰O(shè),則橢圓在點B處的切線方程為 令,令,所以 又點B在橢圓的第一象限上,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時,三角形OCD的面積的最小值為 （Ⅲ）設(shè),則橢圓在點處的切線為：又過點,所以,同理點也滿足,所以都在直線上,即：直線MN的方程為 所以原點O到直線MN的距離, 所以直線MN始終與圓相切． 【點評】先猜想圓心為原點,表示出直線MN的方程,再證明圓心到直線的距離為定值．【小試牛刀】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上,的面積為.（1）求該橢圓的標準方程；（2）是否存在圓心在軸上的圓,使圓在軸的上方與橢圓兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在,求圓的方程,若不存在,請說明理由.[來源:學(xué)科網(wǎng)]【解析】（1）設(shè),其中,由得從而故.從而,由得,因此.所以,故因此,所求橢圓的標準方程為：當(dāng)時,過分別與,垂直的直線的交點即為圓心,設(shè)由得而故圓的半徑綜上,存在滿足條件的圓,其方程為：四、遷移運用：＋＝1(ab0)以拋物線y2＝8x的焦點為頂點,且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓E相交于A,B兩點,與直線x＝－4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足＝＋(其中O為坐標原點),試問在x軸上是否存在一點T,使得為定值？若存在,求出點T的坐標及的值；若不存在,請說明理由．【解析】(1)拋物線y2＝8x的焦點為橢圓E的頂點,即a＝＝,故c＝1,b＝.∴橢圓E的方程為＋＝1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵＝＋,∴P(x1＋x2,y1＋y2),聯(lián)立得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1＋x2＝－,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.將P代入橢圓E的方程,得＋＝1,整理,得4m2＝4k2＋3.設(shè)T(t,0),Q(－4,m－4k),∴＝(－4－t,m－4k),＝.即＝＋＝.∵4k2＋3＝4m2,∴＝＝＋.要使為定值,只需2＝＝為定值,則1＋t＝0,∴t＝－1,∴在x軸上存在一點T(－1,0),使得為定值.2.【山西省長治二中、臨汾一中、康杰中學(xué)、晉城一中2017屆高三第一次聯(lián)考】已知橢圓C:的左焦點為F,為橢圓上一點,AF交y軸于點M,且M為AF的中點.（I）求橢圓C的方程；（II）直線與橢圓C有且只有一個公共點A,平行于OA的直線交于P ,交橢圓C于不同
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