微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-21 01:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小值為。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，則∴，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。當(dāng)P到P位置時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)P到位置時(shí)，有最小值，最小值為.（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）變式:點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=1，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過A點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2: 已知橢圓的中心在O,右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為L(zhǎng)，若在L上存在點(diǎn)M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，求橢圓的離心率e的取值范圍?解：如果注意到形助數(shù)的特點(diǎn)，借助平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建使問題簡(jiǎn)單化，由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準(zhǔn)線之間的距離），則有 2≥≥，∴橢圓的離心率e的取值范圍橢圓的離心率e的取值范圍為變式1: 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,求此雙曲線的離心率e的最大值?解：雙曲線的離心率e的最大值為變式2: 已知橢圓方程為 ，（）的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，點(diǎn)P在為橢圓上的任意一點(diǎn)，且|PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e的最小值?解：橢圓的離心率e的最小值為例3: 已知P點(diǎn)在圓x2+(y2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y4)2 ①因Q在橢圓上,則x2=9(1y2) ② 將②代入①得|O1Q|2= 9(
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