圓錐曲線專題(定點(diǎn)、定值問題)(編輯修改稿)
2024-09-01 05:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.練習(xí)2：如圖,拋物線,點(diǎn)在拋物線上,過作的切線,切點(diǎn)為(為原點(diǎn)時(shí),重合于),切線的斜率為.(I)求的值；(II)當(dāng)在上運(yùn)動時(shí),求線段中點(diǎn)的軌跡程.【答案】 模型三：相交弦過定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。但是具體解題而言，相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對較大，解題過程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。例題：如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。法一：解： 先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且。猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N∴KAN=KEN ∴A、N、E三點(diǎn)共線 同理可得B、N、D三點(diǎn)共線∴AE與BD相交于定點(diǎn)法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)M、N,然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=。◆方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點(diǎn)問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。例題、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。方法1：點(diǎn)AA2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PAPA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PAPA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(2,0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一
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