專題圓錐曲線中的最值及范圍問題(編輯修改稿)
2025-04-20 05:53 本頁面
【文章內容簡介】 e2的最小值為.評注：解題關鍵在于對圓錐曲線性質的準確理解，并注意基本不等式等代數知識的合理應用.3．（2012年高考（山東文））如圖,橢圓的離心率為,直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.(Ⅰ)求橢圓M的標準方程。(Ⅱ) .解:(I)① 矩形ABCD面積為8,即② 由①②解得:,∴橢圓M的標準方程是. (II), 設,則, 由得. . 線段CD的方程為,線段AD的方程為. (1)不妨設點S在AD邊上,T在CD邊上,可知. 所以,則, 令,則 所以, 當且僅當時取得最大值,此時。 (2)不妨設點S在AB邊上,T在CD邊上,此時, 因此,此時, 當時取得最大值。 (3)不妨設點S在AB邊上,T在BC邊上,可知 由橢圓和矩形的對稱性可知當時取得最大值。 綜上所述當和0時,取得最大值. 四、求面積的最值例4．已知平面內的一個動點P到直線的距離與到定點的距離之比為，點，設動點P的軌跡為曲線C.⑴求曲線C的方程；⑵過原點O的直線l與曲線C交于M，△MAN面積的最大值.解析：⑴設動點P到l的距離為d，由題意根據圓錐曲線統(tǒng)一定義，點P的軌跡C為橢圓.∵, 可得 ∴故橢圓C的方程為：⑵若直線l存在斜率，設其方程為l與橢圓C的交點 將y=kx代入橢圓C的方程并整理得. ∴ 于是 又 點A到直線l的距離 故△MAN的面積 從而 ①當k=0時，S2=1得S=1 ②當k0時，S21得S1 ③當k0時， 得若直線l不存在斜率，則MN即為橢圓C的短軸，所以MN=2. 于是△MAN的面積.綜上，△MAN的最大值為.評注：本題將△MAN的面積表示為l的斜率k的函數，其過程涉及弦長公式和點到直線距離等解析幾何的基礎知識，在處理所得的面積函數時，運用了分類討論的思想方法。當然，也可以將該面積函數轉化為關于k的一元二次方程，由△≥0求得面積S的最大值。練習：1．（2012年高考（浙江理））如圖,橢圓C:(ab0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1),B兩點,且線段AB被直線OP平分.(Ⅰ)求橢圓C的方程。(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程.【解析】 (Ⅰ)由題:。 (1) 左焦點(﹣c,0)到點P(2,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. ∴所求橢圓C的方程為:. (Ⅱ)易得直線OP的方程:y=x,設A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. ∵A,B在橢圓上, ∴. 設直線AB的方程為l:y=﹣(m≠0), 代入橢圓:. 顯然. ∴﹣m且m≠0. 由上又有:=m,=. ∴|AB|=||==. ∵點P(2,1)到直線l的距離為:. ∴SABP=d|AB|=,其中﹣m且m≠0. 利用導數解: 令, 則 當m=時,有(SABP)max. 此時直線l的方程. 2．（2012年高考（廣東理））(解析幾何)在平面直角坐標系中,已知橢圓:()的離心率且橢圓上的點到點的距離的最大值為3.(Ⅰ)求橢圓的方程。(Ⅱ)在橢圓上,是否存在點,使得直線:與圓:相交于不同的兩點、,且的面積最大?若存在,求出點的坐標及對應的的面積。若不存在,請說明理由.解析:(Ⅰ)因為,所以,則(). 當時,在時取到最大值,且最大值為,由解得,與假設不符合,舍去. 當時,在時取到最大值,且最大值為,橢圓的方程是. (Ⅱ)圓心到直
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