專(zhuān)題四-圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問(wèn)題(編輯修改稿)
2024-08-20 20:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2m 或 k ＝72m 均適合． 當(dāng) k ＝12m 時(shí)，直線過(guò) A ，舍去．故 k ＝72m . 當(dāng) k ＝72m 時(shí)，直線 y ＝ kx ＋27k 過(guò)定 點(diǎn)??????－27， 0 . 【 思維點(diǎn)撥 】 關(guān)于定點(diǎn)與定值問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)從兩個(gè)方面來(lái) 解決： (1)從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明這個(gè)點(diǎn)或值與變 量無(wú)關(guān)； (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算的過(guò)程中消去變量，從而 得到定點(diǎn)或 定值． ①1PF PA ＝ ( － 1 － x 0 )( － 2 － x 0 ) ＋ y20 ＝14x20 ＋ 3 x 0 ＋ 5 ， f ( x 0 ) ＝14x20 ＋3 x 0 ＋ 5 中－ 2 ≤ x 0 ≤ 2 ，其圖象是拋物線的一部分，利用 x 0 的范圍求1PF PA 的范圍； ② 設(shè)直線為 y ＝ kx ＋ m ，通過(guò) 2AH ＝ MH NH 得到 k 與 m 的關(guān)系式 4 k2－ 16 km ＋ 7 m2＝ 0 ，消掉一個(gè)字母即可求解． 【 互動(dòng)探究 】 2． (2022年廣東湛江調(diào)研 )已知圓 C： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 12＝ 0， 點(diǎn) A(3,5)， B(1,0)， 求： (1)過(guò)點(diǎn) A的圓 C的切線方程； (2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) ， 連接 OA， OC， 求 △ AOC的面積 S； (3)設(shè)動(dòng)圓 M過(guò)點(diǎn) B(1,0)， 且圓心 M在拋物線 C： y2＝ 2x上 ，EF是圓 M在 y軸上截得的弦 ， 當(dāng) M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng) |EF|是否為定值 ？請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 解： (1) 圓 C ： ( x － 2)2＋ ( y － 3)2＝ 1. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，對(duì)直線 x ＝ 3 ， C (2,3) 到直線的距離為1 ，滿(mǎn)足條件． 當(dāng) k 存在時(shí)，設(shè)直線 y － 5 ＝ k ( x － 3) ，即 y ＝ kx ＋ 5 － 3 k . 則圓 C 到直線的距離為：|－ k ＋ 2|k2＋ 1＝ 1 ，解得 k ＝34. ∴ 切線方程為 x ＝ 3 或 y ＝34x ＋114. (2) ∵ | A O |＝ 9 ＋ 25 ＝ 34 ， 又 ∵ 直線 OA 的方程為： 5 x － 3 y ＝ 0 ， ∴ 圓心 C 到直線 OA 的距離 d ＝134. ∴ S ＝12| AO | d ＝12. (3)設(shè)圓心 M(a， b)， 因?yàn)閳A M過(guò) B(1,0)． 故設(shè)圓的方程 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ (a－ 1)2＋ b2. 令 x＝ 0得： y2－ 2by＋ 2a－ 1＝ 0. 設(shè)圓與 y軸的兩交點(diǎn)為 (0， y1)， (0， y2)， 則 y1＋ y2＝ 2b， y1y2＝ 2a－ 1. (y1－ y2)2＝ (y1＋ y2)2－ 4y1y2 ＝ (2b)2－ 4(2a－ 1)＝ 4b2－ 8a＋ 4. ∵ M(a， b)在拋物線 y2＝ 2x上 ， ∴ b2＝ 2a. ∴ (y1－ y2)2＝ 4.∴ |y1－ y2|＝ 2. ∴ 當(dāng) M運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 弦長(zhǎng) |EF|為定值 2. 題型三 圓錐曲線中的最值問(wèn)題 例 3 ： (20 1 1 年北京 ) 已知橢圓 G ：x24＋ y2＝ 1. 過(guò)點(diǎn) ( m, 0) 作圓 x2＋ y2＝ 1 的切線 l 交橢圓 G 于 A 、 B 兩點(diǎn)． (1) 求橢圓 G 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； (2) 將 | AB |表示為 m 的函數(shù)，并求 | AB |的最大值． 解析： (1) 由已知得 a ＝ 2 ， b ＝ 1. 則 c ＝ a 2 － b 2 ＝ 3 . 故橢圓 G 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( － 3 ， 0) ， ( 3 ， 0) ，離心率為 e ＝ca ＝32 . (2) 由題意知， | m |≥ 1. 當(dāng) m ＝ 1 時(shí)，切線 l 的方程 x ＝ 1 ，點(diǎn) A ， B 的坐標(biāo)分別為??????1 ，32，??????1 ，－32. 此時(shí) | AB |＝ 3 . 當(dāng) m ＝－ 1 時(shí)，同理可得 | AB |＝ 3 . 當(dāng) | m | 1 時(shí)，設(shè)切線 l 的方程為 y ＝ k ( x － m ) ， 由????? y ＝ k ? x － m ? ，x24＋ y2＝ 1 ，消去 y 得 (1 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2mx ＋ 4 k2m2－ 4 ＝ 0. 設(shè) A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( x1， y1) ， ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝8 k2m1 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4 k2m2－ 41 ＋ 4 k2 . 又由 l 與圓 x2＋ y2＝ 1 相切，得| km |k2＋ 1＝ 1 ，即 m2k2＝ k2＋ 1. 所以 | AB |＝ ? 1 ＋ k2
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