專題四-圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問(wèn)題-展示頁(yè)
2024-08-08 20:02本頁(yè)面
【正文】 A ( － 2,0) ， F1( － 1,0) ． ∴1PF12時(shí)，方程 ① 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． 直線 m 方程為 y ＝12x － 1 或 y ＝－12x － 1. 題型二 圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題 例 2 ： 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的左右焦點(diǎn)分別為 F 1 ， F 2 ，左頂 點(diǎn)為 A ，若 | F1F2|＝ 2 ，橢圓的離心率為 e ＝12. (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若 P 是橢圓上的任意一點(diǎn)，求1PF ON ＝－ 23 ， ∴63 k2－ 1＋ 1 ＝－ 23 ， k ＝ 177。 ON ＝ ( x 1 ， y 1 ) 專題四 圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問(wèn)題 本章主要內(nèi)容有橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、 簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．它們作為研究曲線和方程的典型問(wèn)題，成了解析 幾何的主要內(nèi)容，在高考中，圓錐曲線成為命題的熱點(diǎn)之一．分 析近幾年的高考試題，解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新， 體現(xiàn)在重視能力立意，強(qiáng)調(diào)思維空間，是用活題考死知識(shí)的典范． 解析幾何綜合題理科重點(diǎn)是橢圓、拋物線以及它們與直線結(jié)合的 綜合題． 最值與定值問(wèn)題：在解析幾何中，研究圓錐曲線的綜合問(wèn)題 時(shí)，經(jīng)常用到有關(guān)距離、面積、斜率、比值等幾何量．最值問(wèn)題 是指這些幾何量的最大 (小 )值問(wèn)題，當(dāng)這些幾何量與變量無(wú)關(guān)時(shí)， 即為定值問(wèn)題． 存在性問(wèn)題：有關(guān)直線與圓錐曲線關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般 先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過(guò)推理論證，如果得到可以成立 的結(jié)果，就可作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、 定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說(shuō)明不存在． 題型一 圓錐曲線與平面向量的整合 例 1 ： 已知 A ， B 分別是直線 y ＝33x 和 y ＝－33x 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 AB 的長(zhǎng)為 2 3 ， P 是 AB 的中點(diǎn) ． (1) 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； (2) 過(guò)點(diǎn) Q (1, 0) 作直線 l ( 與 x 軸不垂直 ) 與軌跡 C 交于 M ， N 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) R . 若 RM ＝ λ MQ ， RN ＝ μ NQ ，證明： λ ＋ μ 為定值． 解析： (1) 設(shè) P ( x ， y ) ， A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ． ∵ P 是線段 AB 的中點(diǎn)， ∴????? x ＝x1＋ x22，y ＝y(tǒng)1＋ y22. ∵ A ， B 分別是直線 y ＝33x 和 y ＝－33x 上的點(diǎn)， ∴ y1＝33x1， y2＝－33x2. ∴????? x1－ x2＝ 2 3 y ，y1－ y2＝2 33x . 又 | AB |＝ 2 3 ， ∴ ( x1－ x2)2＋ ( y1－ y2)2＝ 12. ∴ 12 y2＋43x2＝ 12. ∴ 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程為x29＋ y2＝ 1. (2) 依題意，直線 l 的斜率存在， 故可設(shè)直線 l 的方程為 y ＝ k ( x － 1) ． 設(shè) M ( x3， y3) ， N ( x4， y4) ， R (0 ， y5) ， 則 M ， N 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組????? y ＝ k ? x － 1 ? ，x29＋ y2＝ 1. 消去 y 并整理，得 (1 ＋ 9 k2) x2－ 18 k2x ＋ 9 k2－ 9 ＝ 0. ∴ x3＋ x4＝18 k21 ＋ 9 k2， ① x3x4＝9 k2－ 91 ＋ 9 k2. ② ∵ RM ＝ λMQ， ∴ ( x3， y3) － (0 ， y5) ＝ λ [ (1,0) － ( x3， y3)] ． 即????? x3＝ λ ? 1 － x3? ，y3－ y5＝－ λy3.∴ x3＝ λ (1 － x3) ． ∵ l 與 x 軸不垂直， ∴ x3≠ 1. ∴ λ ＝x31 － x3. 同理 μ ＝x41 － x4. ∴ λ ＋ μ ＝x31 － x3＋x41 － x4＝? x3＋ x4? － 2 x3x41 － ? x3＋ x4? ＋ x3x4. 將 ①② 代入上式可得 λ ＋ μ ＝－94. 通俗地說(shuō)，向量既是代數(shù)的，也是幾何的
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