116圓錐曲線的綜合問題-展示頁
2025-04-02 04:06本頁面
【正文】 ∴=－.∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.由①－②得直線AB的斜率kAB===－=－1（x1≠x2）.考點(diǎn)二 函數(shù)最值與橢圓的綜合問題【例2】 設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0，）到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).思路分析：設(shè)橢圓方程為+=1，由e=知橢圓方程可化為x2+4y2=4b2，然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個參數(shù)b，在判定距離有最大值的過程中，要討論y=－是否在y的取值范圍內(nèi)，最后求出橢圓方程和P點(diǎn)坐標(biāo).解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+=1，其中a＞b＞0待定.由e2===1－（）2可知===，即a=2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b.如果b＜，則當(dāng)y=－b時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=（b+）2，由此得b=－＞，與b＜矛盾.因此必有b≥成立，于是當(dāng)y=－時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+y2=1.由y=－及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)（－，－），點(diǎn)（，－）到點(diǎn)P的距離都是.解法二：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)橢圓的參數(shù)方程是其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，x=acosθ，y=bsinθ，∵e=，∴a=2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2.（1）解：直線l的截距式方程為+=1. ①（2）證明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0. ②點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)yy2為②的兩個根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.所以+===.（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為kk2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以O(shè)M⊥ON，即∠MON=90176。.亦可由kOM反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的.疑難點(diǎn)、易錯點(diǎn)剖析1．與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)問題的討論常用的方法有兩種：（1）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）得出參數(shù)的變化范圍；（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍．2．圓錐曲線中最值的兩種求法：（1）幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法；（2）代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．直擊考點(diǎn)考點(diǎn)一 直線與拋物線的綜合問題【例1】 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）寫出直線l的截距式方程；（2）證明：+=；（3）當(dāng)a=2p時，求∠MON的大小.剖析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y2=+yy1y2的值，進(jìn)而證得+=.由（4） 對稱問題是高考的熱點(diǎn)，注意關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸、直線對稱的兩曲線方程的特點(diǎn)。（2） 注重對解析幾何基本方法的考查，要求會建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在復(fù)習(xí)圓錐曲線綜合題時要注意以下幾點(diǎn)：
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