專題四-圓錐曲線的綜合及應用問題(參考版)
2024-08-04 20:02本頁面
【正文】 3 ， 0) 為焦點，長軸長為 4 的橢圓． ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 3 . ∴ b ＝ a2－ c2＝ 1. ∴ 動點 M 的軌跡 C 的方程為x24＋ y2＝ 1. (2) 由 (1) 知，軌跡 C 是橢圓x24＋ y2＝ 1 ，點 B (0,1) 是它的上頂點 ， 設滿足條件的直線 l1， l2存在， 令直線 l1的方程為 y ＝ kx ＋ 1( k 0) ， ① 則直線 l2的方程為 y ＝－1kx ＋ 1. ② 將 ① 代入橢圓方程并整理得： (1 ＋ 4 k2) x2＋ 8 kx ＝ 0 ， 可得 xD＝－ 8 k1 ＋ 4 k2，則 yD＝－ 8 k21 ＋ 4 k2＋ 1. 將 ② 代入橢圓方程并整理得： (4 ＋ k2) x2－ 8 kx ＝ 0 ， 可得 xE＝8 k4 ＋ k2，則 yE＝－ 84 ＋ k2＋ 1. 由 △ BDE 是等腰直角三角形得 | BD |＝ | BE | ?????????－ 8 k1 ＋ 4 k22＋????????－ 8 k21 ＋ 4 k22＝????????8 k4 ＋ k22＋????????－ 84 ＋ k22 ?64 k2( 1 ＋ 4 k2)2＋64 k4( 1 ＋ 4 k2)2＝64 k2( 4 ＋ k2)2＋64( 4 ＋ k2)2 ?k2( 1 ＋ k2)( 1 ＋ 4 k2)2＝1 ＋ k2( 4 ＋ k2)2?k2( 1 ＋ 4 k2)2＝1( 4 ＋ k2)2 ?k1 ＋ 4 k2＝14 ＋ k2? k3＋ 4 k ＝ 1 ＋ 4 k2 ? k3－ 1 ＝ 4 k2－ 4 k ? ( k － 1)( k2＋ k ＋ 1) ＝ 4 k ( k － 1) ． ③ ∴ k ＝ 1 或 k2－ 3 k ＋ 1 ＝ 0. ④ ∵ 方程 ④ 的根判別式 Δ ＝ 50 ，即方程 ④ 有兩個不相等的實根，且不為 1 ， ∴ 方程 ③有三個 互不相等的實根． 即滿足條件的直線 l1， l2存在，共有 3 組． 探索性問題是近幾年高考的熱點問題，是一種具 有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備．要求 解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進行觀察、分析、比較和概 括．主要題型包括條件追溯型、結(jié)論探索型、存在判斷型等．圓 錐曲線的探索性問題大部分是存在判斷型．解決這類問題的基本 策略是：通常假定題中的數(shù)學對象存在 (或結(jié)論成立 )或暫且認可其 中的一部分的結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導 出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結(jié)論．其中反證法在解題 中起著重要的作用． 下面幾點對你的備考必定大有裨益： (1)直線與圓錐曲線相交的問題，牢記“聯(lián)立方程，把要求的 量轉(zhuǎn)化為韋達定理”，當然別忘記判別式 Δ0 的范圍限制和直線 斜率不存在的情況． (2)涉及弦中點的問題，牢記“點差法”是聯(lián)系中點坐標和弦 所在直線的斜率的好方法． (3)求參數(shù)范圍的問題，牢記“先找不等式，有時需要找出兩 個量之間的關系，然后消去另一個量，保留要求的量”．不等式 的來源可以是 Δ0 或圓錐曲線的有界性或是題目條件中的某個量 的范圍． (4)求軌跡方程的問題，牢記“定義法、相關點法、坐標法、 消參法、交軌法”． (5)涉及定比分點 λ的問 題，牢記 “ 用向量轉(zhuǎn)化為坐標，或考慮 幾何意義”． (6)題目中總有許多點在曲線 (直線 )上，牢記“利用點滿足幾何 定義，點的坐標可以代入方程”． (7)求最值的問題，牢記“轉(zhuǎn)化為只含一個變量的目標函數(shù)， 確定變量的范圍”或“考慮幾何意義”． (8)存在探索性問題，牢記“利用幾何性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化”，例 如轉(zhuǎn)化為方程根存在的問題． 圓錐曲線背景下求最值要充分考慮圖形的幾何特征及變量的 范圍，可以借助基本不等式、二次函數(shù)、導數(shù)等求解；開放性問 題不容易找到突破口，一般途徑是先假定存在然后證明，如果有 矛盾則否定假設． 。| x 1 － x 2 |消去一個參數(shù)后利用基本不等式求解． 【 互動探究 】 3 ．已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的離心率為63，短軸一個端點到右焦點的距離為 3 . (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 設直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點，坐標原點 O 到直線 l的距離為32，求 △ AOB 面積的最大值． 解： (
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