專題圓錐曲線中的最值及范圍問題-wenkub
2023-04-08 05:53:51 本頁面
【正文】 、,且的面積最大,且最大值為. 3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意∴b＝1，∴所求橢圓方程為＋y2＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．①當AB⊥x軸時，|AB|＝.②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入橢圓方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴|AB|2＝(1＋k2)＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝＝，即k＝177。解決圓錐曲線中的最值問題，要熟練準確地掌握圓錐曲線的定義、性質，在此基礎上，靈活合理地運用函數與方程、轉化與劃歸及數形結合等思想方法，仔細審題，挖掘隱含，尋求恰當的解題方法。并求直線被圓所截得的弦長的取值范圍. 已知點M(2，0)，N(2,0)，.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（Ⅰ）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x0）（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，），B（x0，－），＝2 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依題意可知方程1176。六、求參變量的取值范圍：例如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列 (1)求該橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故橢圓方程為=1 (2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出 x1+x2=8 設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9=0(x1≠x2)將 (k≠0)代入上式，得94+25y0(－)=0 (k≠0)即k=y0(當k=0時也成立) 由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0 由點P(4，y0)在線段BB′(B′與B關于x軸對稱)的內部，得－＜y0＜,所以－＜m＜ 解法二 因為弦AC的中點為P(4,y0)，所以直線AC的方程為y－y0=－(x－4)(k≠0) ③將③代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－259k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0 (當k=0時也成立)(以下同解法
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