直線圓錐曲線及向量的綜合問(wèn)題-wenkub
2023-04-09 06:30:07 本頁(yè)面
【正文】 圖1－3(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝（2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；（6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過(guò)的中點(diǎn)。（4）給出,等于已知A、B與PQ的中點(diǎn)三點(diǎn)共線。（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形。（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線。特別提醒：D法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。|B1B2|y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以湖北卷] 設(shè)A是單位圓x2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|＝m|DA|(m0，且m≠1)．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，使得對(duì)任意的k0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)如圖(1)，設(shè)M(x，y)，A(x0，y0)，則由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①因?yàn)辄c(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以x＋y＝1.②將①式代入②式即得所求曲線C的方程為x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．因?yàn)閙∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以當(dāng)0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－，0)，(，0)；當(dāng)m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－)，(0，)．(2)方法1：如圖(2)、(3)，對(duì)任意的k＞0，設(shè)P(x1，kx1)，H(x2，y2)，則Q(－x1，－kx1)，N(0，kx1)，直線QN的方程為y＝2kx＋kx1，將其代入橢圓C的方程并整理可得(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.依題意可知此方程的兩根為－x1，x2，于是由韋達(dá)定理可得－x1＋x2＝－，即x2＝.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以y2－kx1＝2kx2＝.于是＝(－2x1，－2kx1)，＝(x2－x1，y2－kx1)＝.而PQ⊥PH等價(jià)于＝－.而PQ⊥PH等價(jià)于kPQ福建卷] 如圖橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：解法一：(1)因?yàn)閨AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故橢圓E的方程是＋＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，
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