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圓錐曲線存在性問題-wenkub

2023-04-09 00:03:50 本頁面
 

【正文】 )求雙曲線的離心率(2)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一、四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在請(qǐng)說明理由習(xí)題答案:解析:(1) 橢圓過點(diǎn) ,再由可解得: 橢圓方程為: (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,直線上一點(diǎn),依題意可得:兩條切線方程為: ,由切線均過可得:均在直線上因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線,即過定點(diǎn),即點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)聯(lián)立方程: ,不妨設(shè) ,使得恒成立解析:(1)拋物線的焦點(diǎn)為 依題意可知: 橢圓方程為: (2)由(1)可得:,若直線斜率存在設(shè), 到直線的距離 到直線的距離 聯(lián)立方程: (*) ,代入到(*)可得: 或 當(dāng)時(shí),交點(diǎn)與重合,不符題意,代入到可得: ,即 解:(1)依題意可知:可得:橢圓方程為:,代入可得:橢圓方程為:(2)① 證明:設(shè),線段的中點(diǎn)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立方程: 化為:由解得: 且 ② 假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得,則即因?yàn)樵跈E圓上,所以,矛盾所以不存在符合條件的直線解析:(1)由可得為的中點(diǎn),且 為的中垂線 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其半長軸長為,半焦距 軌跡方程為: (2)因?yàn)?四邊形為平行四邊形若,則四邊形為矩形,即 ① 若直線的斜率不存在,則 聯(lián)立方程:,即 故不符合要求② 若直線的斜率存在,設(shè) 由 ,解得: 所以存在或,使得四邊形的對(duì)角線相等解析:(1)由雙曲線方程可知,漸近線方程為 (2)若直線不與軸垂直,設(shè)聯(lián)立方程: ,同理可得設(shè)直線與軸交于 即 由直線與漸近線的交點(diǎn)分別在第一、四象限可知: 由(1)可得雙曲線方程為:聯(lián)立與雙曲線方程: 因?yàn)榕c雙曲線相切 整理可得: 所以 雙曲線方程為:存在一個(gè)總與相切的雙曲線,其方程為。因?yàn)橐獫M足所有直線,所以考慮先利用特殊情況求
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