直線圓錐曲線與向量的綜合問題-wenkub
2023-04-09 06:30:06 本頁面
【正文】 ..直線圓錐曲線與向量的綜合問題高考考什么知識要點：1．直線與圓錐曲線的公共點的情況（1）沒有公共點 方程組無解 （2）一個公共點 （3）兩個公共點 2．連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式：3．以平面向量作為工具，綜合處理有關長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題（3）給出,等于已知是的中點。（5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線.（8）給出,等于已知是的平分線。（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形。（14）在中，給出等于已知通過的內心；近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為（1）考查學生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。上海卷] 若n＝(－2,1)是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為________(結果用反三角函數(shù)值表示)．．arctan2 [解析] 考查直線的法向量和傾斜角，關鍵是求出直線的斜率．由已知可得直線的斜率k＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直線的傾斜角α＝arctan2.2.[2012|OA|＝＝0，即16m2－64＝0，解得m＝177。kPH＝全國卷] 已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：x2＋＝1在y軸正半軸上的焦點，過F且圖1－4斜率為－的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足＋＋＝0.(1)證明：點P在C上；(2)設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．【解答】 (1)證明：F(0,1)，l的方程為y＝－x＋1，代入x2＋＝1并化簡得4x2－2x－1＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，則x1＝，x2＝，x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝1，由題意得x3＝－(x1＋x2)＝－，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以點P的坐標為.經驗證，點P的坐標滿足方程x2＋＝1，故點P在橢圓C上．(2)證明：由P和題設知Q，PQ的垂直平分線l1的方程為y＝－x.①設AB的中點為M，則M，AB的垂直平分線l2的方程為y＝x＋.②由①、②得ll2的交點為N.|NP|＝＝，|AB|＝＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.解法二：(1)同解法一．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，得Q(4,4k＋m)．假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上．取k＝0，m＝，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x－2)2＋(y－)2＝4，交x軸于點M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為2＋2＝，交x軸于點M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合條件的點M存在，則M的坐標必為(1,0)．以下證明M(1,0)就是滿足條件的點：因為M的坐標為(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，從而（1）證明：設，由得，又 ，即A,B,C三點共線。0)。2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又，∴又∵，即 ∴故由①、②得或例7已知橢圓的左、右焦點分別為、過的直線交橢圓于B、D兩點，過的直線交橢圓于A、C兩點，且，垂足為P. （Ⅰ）設P點的坐標為，證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。許昌一模] 設FF2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且解：直線l過P(1,0)，故可設方程為y=k(x1)， 因為，所以 AB的中點與 PQ的中點重合.由得(1+2k2)x24k2x+2(k21)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直線方程為。＝(－)＝(x1－x0)(x2－x0)＋(y1－y0)(y2－y0)＝(x1－x0)(－x1－x0)＋(y
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