直線圓錐曲線與向量的綜合問(wèn)題-wenkub
2023-04-09 06:30:06 本頁(yè)面
【正文】 ..直線圓錐曲線與向量的綜合問(wèn)題高考考什么知識(shí)要點(diǎn)：1．直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況（1）沒(méi)有公共點(diǎn) 方程組無(wú)解 （2）一個(gè)公共點(diǎn) （3）兩個(gè)公共點(diǎn) 2．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：3．以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、共線、平行、垂直、射影等問(wèn)題（3）給出,等于已知是的中點(diǎn)。（5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線.（8）給出,等于已知是的平分線。（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形。（14）在中，給出等于已知通過(guò)的內(nèi)心；近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)椋?）考查學(xué)生對(duì)平面向量知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。上海卷] 若n＝(－2,1)是直線l的一個(gè)法向量，則l的傾斜角的大小為_(kāi)_______(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．．a(chǎn)rctan2 [解析] 考查直線的法向量和傾斜角，關(guān)鍵是求出直線的斜率．由已知可得直線的斜率k＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直線的傾斜角α＝arctan2.2.[2012|OA|＝＝0，即16m2－64＝0，解得m＝177。kPH＝全國(guó)卷] 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2＋＝1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且圖1－4斜率為－的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0.(1)證明：點(diǎn)P在C上；(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．【解答】 (1)證明：F(0,1)，l的方程為y＝－x＋1，代入x2＋＝1并化簡(jiǎn)得4x2－2x－1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，則x1＝，x2＝，x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝1，由題意得x3＝－(x1＋x2)＝－，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程x2＋＝1，故點(diǎn)P在橢圓C上．(2)證明：由P和題設(shè)知Q，PQ的垂直平分線l1的方程為y＝－x.①設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M，AB的垂直平分線l2的方程為y＝x＋.②由①、②得ll2的交點(diǎn)為N.|NP|＝＝，|AB|＝＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.解法二：(1)同解法一．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，得Q(4,4k＋m)．假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．取k＝0，m＝，此時(shí)P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x－2)2＋(y－)2＝4，交x軸于點(diǎn)M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此時(shí)P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為2＋2＝，交x軸于點(diǎn)M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為(1,0)．以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，從而（1）證明：設(shè)，由得，又 ，即A,B,C三點(diǎn)共線。0)。2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又，∴又∵，即 ∴故由①、②得或例7已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、過(guò)的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且，垂足為P. （Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。許昌一模] 設(shè)FF2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且解：直線l過(guò)P(1,0)，故可設(shè)方程為y=k(x1)， 因?yàn)?，所?AB的中點(diǎn)與 PQ的中點(diǎn)重合.由得(1+2k2)x24k2x+2(k21)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直線方程為。＝(－)＝(x1－x0)(x2－x0)＋(y1－y0)(y2－y0)＝(x1－x0)(－x1－x0)＋(y
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