圓錐曲線幾何問題的轉(zhuǎn)換-wenkub
2023-04-09 00:03:24 本頁面
【正文】 角）例如：，二、典型例題：例1：如圖：分別是橢圓的左右頂點，為其右焦點，是的等差中項，是的等比中項（1）求橢圓的方程（2）已知是橢圓上異于的動點，直線過點且垂直于軸，若過作直線，并交直線于點。證明：三點共線解：（1）依題意可得： 是的等差中項 是的等比中項 橢圓方程為： （2）由（1）可得：設(shè)，設(shè) ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得： 另一方面，因為 ，聯(lián)立方程： 三點共線例2：已知橢圓的右焦點為，為上頂點，為坐標原點，若△的面積為，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．解：（1） 橢圓方程為： （2）設(shè)，由（1）可得： 為△的垂心 設(shè) 由為△的垂心可得： ①因為在直線上，代入①可得：即 ②考慮聯(lián)立方程： 得． ,．代入②可得： 解得：或 當時，△不存在，故舍去當時，所求直線存在，直線的方程為小煉有話說：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點的連線垂直底邊，所以對垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算（或是斜率關(guān)系）例3：如圖，橢圓的一個焦點是 ，為坐標原點.（1）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且不垂直軸的直線交橢圓于兩點，若直線繞點任意轉(zhuǎn)動，恒有, 求的取值范圍.解：（1）由圖可得： 由正三角形性質(zhì)可得： 橢圓方程為： （2）設(shè)， 為鈍角
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