第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題-wenkub
2023-04-09 06:47:46 本頁面
【正文】 橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，∴，∴，∴，∴圓心軌跡方程為。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。這是求曲線方程的基本方法。要注意同解變形?，F(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。三．要點(diǎn)精講1．曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。二．命題走向近年來圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。但圓錐曲線在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計(jì)2007年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡明正確。證明證明化簡以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|為：若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍。四．典例解析題型1：求軌跡方程例1．（1）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。（2）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，∵存在，∴由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。例2．（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線y2＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。所以△F1AB的面積最大值為cb。故選B。連PB，PF。例4．（1）（06全國1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。③當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1。∴S△ABC的最大值是。原點(diǎn)到直線的距離。解法2：令，則。下同解法一。（2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（2）（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為 .（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2x02，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2x12，－2x22，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，∴
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