第30－34課時導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法-wenkub
2023-04-09 06:47:25 本頁面
【正文】 (－1)=1+a－2≤0.∵對x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時，f＇(1)=0以及當(dāng)a=－1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二： ≥0， 0，① 或 (－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0 0≤a≤1 或 －1≤a0 －1≤a≤1.∵對x∈[－1，1]，只有當(dāng)a=1時，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=－1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）由∵△=a2+80∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根， x1+x2=a，∴ x1x2=－2， 從而|x1－x2|==.∵－1≤a≤1，∴|x1x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立. ②設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一： g(－1)=m2－m－2≥0，② g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：當(dāng)m=0時，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時， m0， m0，② 或 g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0 m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.說明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力. 4．（2004年高考天津卷文科（21））已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時取得極值.(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值；(II)證明對任意不等式恒成立. (I) 解：由奇函數(shù)定義，應(yīng)有.即 因此， 由條件 為的極值，必有故 解得 因此， 當(dāng) 時，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).當(dāng) 時，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù).當(dāng) 時，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).所以，在處取得極大值，極大值為(II)解：由(I)知，是減函數(shù)，且在上的最大值在上的最小值所以，對任意恒有 說明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力.5．（2004年高考全國卷Ⅱ理科（22））已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值；（Ⅱ）設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)2g()(ba)ln2. （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為. 令 當(dāng) 當(dāng) 又 故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得最大值，最大值為0. （Ⅱ）證法一： 由（Ⅰ）結(jié)論知由題設(shè) 因此 所以 又綜上 證法二：設(shè) 則 當(dāng) 在此內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)上為增函數(shù).從而，當(dāng)有極小值因此 即 設(shè) 則 當(dāng) 因此上為減函數(shù).因為 即 說明：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力。 也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。 對于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對復(fù)合函數(shù)的的概念有一個初步的認識，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。㈤函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。㈡時，與為增函數(shù)的關(guān)系。 說明：（1）； （2） 學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。 9．積的導(dǎo)數(shù) 兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 7．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率； (2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為 8．和（或差）的導(dǎo)數(shù) 對于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)
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