第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，∴，∴，∴，∴圓心軌跡方程為。又，△F1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以△F1OB的面積最大值為。（3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（－4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立。所以，所求直線方程為：。題型3：證明問題和對(duì)稱問題例5．（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT。0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。（Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；O（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。由題意知，半焦距c1=6。試證：；證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1），所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．（Ⅱ）對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……①類似地，可求得在處的切線的方程為：，……②由②－①得：，……③將③代入①并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為．由兩點(diǎn)間的距離公式得：．現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：點(diǎn)評(píng)：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識(shí)交匯的題目。⑥轉(zhuǎn)化思想解決圓錐曲線時(shí)充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。②用好函數(shù)思想方法對(duì)于圓錐曲線上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長(zhǎng)度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效。(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0。 當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.當(dāng)y2=2x得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6.y=k(x－3) 又∵x1=y, x2=y,∴=x1x2+y1y2==3.綜上所述, 命題“如果直線l過點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題.②逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.點(diǎn)評(píng)：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=－6。①求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；②寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．解析：（1）（I）過點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因?yàn)橛值靡虼它c(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 設(shè)直線l的方程為， 則直線l與x軸的交點(diǎn)， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：。又由韋達(dá)定理得。②設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得，∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。點(diǎn)評(píng)：由△PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。又，從而。點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)
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