第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。因?yàn)閨y|≤1,a1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值，若1a,則當(dāng)y=－1時(shí), |PQ|取最大值2。（2）①由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1， 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。②設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得，∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。③當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1。當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－)，則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=，∴△ABC的面積S△ABC=。于是S△ABC=。由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立?！郤△ABC的最大值是。（3）解：設(shè)橢圓方程為（Ⅰ）由已知得∴所求橢圓方程為。（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：，由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得。又由韋達(dá)定理得。原點(diǎn)到直線的距離。.解法1：對(duì)兩邊平方整理得：（*），∵，整理得：。 又， ，從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得 。所以，所求直線方程為：。解法2：令，則。 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí)。 所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。 設(shè)直線l的方程為， 則直線l與x軸的交點(diǎn)， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：。下同解法一。點(diǎn)評(píng)：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題，主要是三角形的面積、弦長問題。處理韋達(dá)定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。題型3：證明問題和對(duì)稱問題例5．（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT。（2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（Ⅰ）、求橢圓的方程；（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。（3）（06上海理，20）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)。①求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；②寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．解析：（1）（I）過點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因?yàn)橛值靡虼它c(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（2）（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為 .（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2x02，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）. 將代入，化簡得＝（2－x0）.∵2－x00，∴0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2x12，－2x22，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直線AP
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