圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 焦點，∠F1PF2的外角平分線為l，點F2關于l的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交l于點R.(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.一、：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.：設交點P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵APP共線，∴∵APP共線，∴解得x0=二、：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：：設P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、：設過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點，：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y≠0)：設P(x0,y0）(x≠177。a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由條件而點P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2()2=a2b2 化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠177。a).：(1)∵點F2關于l的對稱點為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因為l為∠F1PF2外角的平分線，故點FP、Q在同一直線上，設存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0－c,y1=2y0. (2x0)2+(2y0)2=(2a)2∴x02+y02=：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=|OA||OB|sinAOB=sinAOB當∠AOB=90176。時，S△AOB最大值為a2.此時弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45176。，專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習：1．如圖1，中，已知，點在軸上方運動，且，則頂點的軌跡方程是 ?。畧D1 圖2 圖3 圖42．如圖2，若圓：上的動點與點連線的垂直平分線交于點，
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