圓錐曲線解題技巧和方法綜合(編輯修改稿)
2025-04-21 00:04 本頁面
【文章內容簡介】 稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點坐標公式得 ， 設雙曲線的方程為，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得 ， ① ② 由①式得 ， ③將③式代入②式，整理得 ，故 由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標表示，回避的計算, 達到設而不求的解題策略． 解法二：建系同解法一，，又，代入整理，由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 判別式法例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：把直線l’的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l’在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路：轉化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于. 由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x—4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程 在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2）∴ 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.求根公式法例5設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關
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