圓錐曲線中的最值和范圍問題方法(編輯修改稿)
2025-08-21 00:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2綜上可知的最小值為2【范例2】給定點A(2,2)，已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是右焦點，當(dāng)取得最小值時，試求B點的坐標。解析：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為所以，當(dāng)取得最小值時，B點坐標為【點晴】在處理許多與焦點有關(guān)的距離和差最值問題時，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡便而有效的好方法?！疚摹奎cA（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。解：拋物線y2=4x的準線方程為x=1，設(shè)P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）?！痉独?】已知P點在圓x2+(y2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y4)2 ①因Q在橢圓上,則x2=9(1y2) ② 將②代入①得|O1Q|2= 9(1y2)+(y4)2 因為Q在橢圓上移動，所以1163。y163。1，故當(dāng)時，此時【點晴】；，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！疚摹吭O(shè)P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求|PQ|的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,所以x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .因為|y|≤1,a1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時, |PQ|取最大值。若1a,則當(dāng)y=－1時, |PQ|取最大值2.【范例4】已知△OFQ的面積為，（1）設(shè)，求208。OFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)208。OFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為∴，∴又∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)c=4時，最小，此時Q的坐標是或 ，所求方程為 【點晴】當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一
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