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正文內(nèi)容

解圓錐曲線問題常用方法二(編輯修改稿)

2025-07-04 22:10 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 由題意,kAB=kAC, ∴則:kBC=為定值。點(diǎn)評:解法1運(yùn)算量較大,但其方法是一種基本方法,因k的變化而造成了一系列的變化,最終求出BC的斜率為定值;解法2利用點(diǎn)B,C在拋物線上設(shè)點(diǎn),形成含兩個參數(shù)y1,y2的問題,用整體思想解題,運(yùn)算量較小。例5:在圓x2+y2=4上,有一定點(diǎn)A(2,0)和兩動點(diǎn)B,C(A,B,C按逆時針排列),當(dāng)B,C兩點(diǎn)保持∠BAC=時,求△ABC的重心的軌跡。分析:圓周角∠BAC=可轉(zhuǎn)化為圓心角∠BOC=,選用“角參數(shù)”, 令B(2cosθ,2sinθ)則C(2cos(θ+),2sin(θ+))則重心可用θ表示出來。解:連OB,OC,∵∠BAC=,∴∠BOC= 設(shè)B(2cosθ,2sinθ)(0θ),則C(2cos(θ+),2sin(θ+)) 設(shè)重心G(x,y),則: x= y=即: x= y= θ+∴。(x)即點(diǎn)評:要注意參數(shù)θ的范圍,θ+∈(,)它是一個旋轉(zhuǎn)角,因此最終的軌跡是一 段圓弧,而不是一個圓。例求直線3x4y+10=0與橢圓(a0)有公共點(diǎn)時a的取值范圍 分析:將直線方程代入橢圓方程消元得一元二次方程應(yīng)有解,用判別式△≥0可求得a的取值范圍。也可考慮另一代入順序,從橢圓方程出發(fā)設(shè)公共點(diǎn)P(用參數(shù)形式),代入直線方程,轉(zhuǎn)化為三角問題:asinx+bcosx=c何時有解。解法一:由直線方程3x4y+10=0得代入橢圓方程得∴ △ ≥0,得解得,又a0,∴ 解法二:設(shè)有公共點(diǎn)為P,因公共點(diǎn)P在橢圓上,利用橢圓方程設(shè)P(acos,sin)再代入直線方程得3acos4sin+10=0 4sin3acos=10。 令sinα=,cosα=,則sin(α)= ,由 即sin2(α)≤1得 ∴9a2≥84,a2≥(a0)∴a≥點(diǎn)評:解法1,2給出了兩種不同的條件代入順序,其解法1的思路清晰,是常用方法,但運(yùn)算量較大,對運(yùn)算能力提出較高的要求,解法2先考慮橢圓,設(shè)公共點(diǎn)再代入直線,技巧性強(qiáng),但運(yùn)算較易,考慮一般關(guān)系:“設(shè)直線l:Ax+By+C=0與橢圓有公共點(diǎn),求應(yīng)滿足的條件”此時,若用解法一則難于運(yùn)算,而用解法
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