圓錐曲線解題技巧和方法綜合(參考版)
2025-03-28 00:04本頁面
【正文】 例1已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．思維流程：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （II）設(shè)． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)， ，即. ． ． ． 解得：，且均滿足． 當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)． 所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn) CA⊥CB。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求m的取值范圍； （Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為則 ∴橢圓方程為（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)， （Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形例已知雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則 即故所求k=177。思維流程：寫出橢圓方程由，（Ⅰ） 由F為的重心（Ⅱ） 兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m 消元 解題過程： （Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又∵即 ，∴ 故橢圓方程為 （Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為 ，由得， ∵ 又得 即 由韋達(dá)定理得 解得或（舍） 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件．點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．例已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)Δ內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求Δ內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程：（Ⅰ） 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為（Ⅱ） 得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程： （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程 ． （Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為． 設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)棣さ闹荛L為定值6．所以， 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金： 例已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.思維流程：（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 則 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解
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