圓錐曲線解題技巧和方法綜合-資料下載頁
2025-03-25 00:04本頁面
【正文】 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點的縱坐標的絕對值最大最大為橢圓短軸端點面積最大值為（Ⅱ） 得出點坐標為解題過程： （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程 ． （Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為 當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為． 設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因為Δ的周長為定值6．所以， 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標為.點石成金： 例已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.思維流程：（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 則 由線段中點的橫坐標是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . （Ⅱ）解：假設(shè)在軸上存在點，使為常數(shù).① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時 ② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，當時， 亦有 綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù).點石成金： 例已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個不同點。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求m的取值范圍； （Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為則 ∴橢圓方程為（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點， （Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形例已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解：∵（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點是，則 即故所求k=177。.點石成金: C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD。例1已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程； （II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．思維流程：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標準方程為， 由已知得：， 橢圓的標準方程為． （II）設(shè)． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，即. ． ． ． 解得：，且均滿足． 當時，的方程，直線過點，與已知矛盾； 當時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標為．點石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點 CA⊥CB。例1已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.（Ⅰ）若當點P的坐標為時,求雙曲線的方程；（Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.思維流程：解：（Ⅰ）(法一)由題意知, , （1分）解得 . 由雙曲線定義得: , 所求雙曲線的方程為: (法二) 因,由斜率之積為,可得解.（Ⅱ）設(shè), (法一)設(shè)P的坐標為, 由焦半徑公式得,， 的最大值為2,無最小值. 此時,此時雙曲線的漸進線方程為 (法二)設(shè),.(1)當時, , 此時 .(2)當,由余弦定理得: ,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)
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