高中數(shù)學圓錐曲線(含軌跡問題)(編輯修改稿)
2025-09-27 20:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 － 21＋ 4k21. 所以點 S 的坐標為 ??? ???16k11＋ 4k21， 8k21－ 21＋ 4k21 . (若寫成 “ 同理可得點 S 的坐標為 ??? ???16k11＋ 4k21， 8k21－ 21＋ 4k21 ” 也可以 ) 所以 R、 S 關于坐標原點 O 對稱， 故 R、 O、 S 三點共線，即直線 RS 過定點 O. 6. (2020揚州三模 )如圖，已知橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)，點 A、 B 分別是橢圓 C 的左頂點和上頂點，直線 AB 與圓 G： x2＋ y2＝ c24 (c 是橢圓的半焦距 )相離， P 是直線 AB 上一動點，過點 P 作圓 G 的兩切線，切點分別為 M、 N. (1) 若橢圓 C 經(jīng)過兩點 ??? ???1， 4 23 、 ??? ???3 32 ， 1 ， 求橢圓 C 的方程； (2) 當 c 為定值時，求證：直線 MN 經(jīng)過一定點 E，并求 OP→ OE→ 的值 (O 是坐標原點 )； (3) 若存在點 P 使得 △ PMN 為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍． 解： (1) 令橢圓 mx2＋ ny2＝ 1，其中 m＝ 1a2， n＝ 1b2， 得??? m＋ 329 n＝ 1，274 m＋ n＝ 1， 所以 m＝ 19， n＝ 14， 鳳 凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 即橢圓為 x29＋y24＝ 1. (2) 直線 AB： x－ a＋ yb＝ 1， 設點 P(x0， y0)，則 OP 的中點為 ?? ??x02， y02 ， 所以點 O、 M、 P、 N 所在的圓的方程為 ?? ??x－ x02 2＋ ?? ??y－ y02 2＝ x20＋ y204 ， 化簡為 x2－ x0x＋ y2－ y0y＝ 0， 與圓 x2＋ y2＝ c24作差，即有直線 MN： x0x＋ y0y＝c24 . 因為點 P(x0， y0)在直線 AB 上，所以 x0－ a＋ y0b＝ 1， 所以 x0?? ??x＋ bay ＋ ?? ??by－ c24 ＝ 0， 所以??? x＋ bay＝ 0，by－ c24＝ 0，得 x＝－ c24a， y＝c24b， 故定點 E?? ??－ c24a，c24b ， OP→ OE→ ＝ ?? ??x0， bax0＋ b ?? ??－ c24a，c24b ＝c24. (3) 直線 AB 與圓 G： x2＋ y2＝ c24(c 是橢圓的半焦距 )相離， 則 aba2＋ b2＞ c2，即 4a2b2＞ c2(a2＋ b2)， 4a2(a2－ c2)＞ c2(2a2－ c2)， 得 e4－ 6e2＋ 4＞ 0＜ e＜ 1，所以 0＜ e2＜ 3－ 5.① 連結 ON、 OM、 OP，若存在點 P 使 △ PMN為正三角形，則在 Rt△ OPN 中， OP＝ 2ON＝ 2r＝ c，所以 aba2＋ b2≤ c， a2b2≤ c2(a2＋ b2)， a2(a2－ c2)≤ c2(2a2－ c2)， 得 e4－ 3e2＋ 1≤ 0. 因為 0＜ e＜ 1，所以 3－ 52 ≤ e2＜ 1.② 由 ①② ，得 3－ 52 ≤ e2＜ 3－ 5，所以 5－ 12 ≤ e＜ 10－ 22 . 基礎訓練 1. 3 或 253 2. 32 3. 2 6＋ 4 4. [ 2－ 1,1) 解析： ∵ PF1PF2＝ e, ∴ PF1＝ ePF2＝ e(2a－ PF1)， PF1＝ 2ae1＋ e， 又 a－ c≤ PF1≤ a＋ c， ∴ a－ c≤ 2ae1＋ e≤ a＋ c， a(1－ e)≤ 2ae1＋ e≤ a(1＋ e)， 1－ e≤ 2e1＋ e≤ 1 鳳 凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： ＋ e，解得 e≥ 2－ 0＜ e＜ 1, ∴ 2－ 1≤ e＜ 1. 例題選講 例 1 解： (1) 由已知得 c＝ 2 2， ca＝ 63 .解得 a＝ 2 3，又 b2＝ a2－ c2＝ 4. 所以橢圓 G 的方程為 x212＋y24＝ 1. (2) 設直線 l的方程為 y＝ x＋ m. 由????? y＝ x＋ m，x212＋y24＝ 1，得 4x2＋ 6mx＋ 3m2－ 12＝ 0.① 設 A、 B 的坐標分別為 (x1， y1)， (x2， y2)(x1x2)， AB 中點為 E(x0， y0)， 則 x0＝ x1＋ x22 ＝－ 3m4 ， y0＝ x0＋ m＝ m4；因為 AB 是等腰 △ PAB 的底邊， 所以 PE⊥ PE 的斜率 k＝2－ m4－ 3＋ 3m4＝－ m＝ 2. 此時方程 ① 為 4x2＋ 12x＝ x1＝－ 3， x2＝ y1＝－ 1， y2＝ 2. 所以 |AB|＝ 3 ，點 P(－ 3,2)到直線 AB： x－ y＋ 2＝ 0 的距離 d＝ |－ 3－ 2＋ 2|2 ＝ 3 22 ，所以 △ PAB 的面積 S＝ 12|AB|d＝ 92. 例 2 解： (1) 由題意，設橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，則 2a＝ 4 3， a＝ 2 3. 因為點 (2 2， 1)在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1 上，所以812＋1b2＝ 1，解得 b＝ 3， 故所求橢圓方程為 x212＋y23＝ 1. (2) 如圖設 A(x1， y1)， B(x2， y2)(y1＜ 0， y2＞ 0)． 點 F 的坐標為 F(3,0)． 由 AF→ ＝ 3FB→ ，得????? 3－ x1＝ 3?x2－ 3?，－ y1＝ 3y2， 即????? x1＝－ 3x2＋ 12，y1＝－ 3y2， ① 又 A、 B 在橢圓 C 上， 鳳 凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 所以??? ?－ 3x2＋ 12?212 ＋?－ 3y2?23 ＝ 1，x2212＋y223＝ 1， 解得??? x2＝ 103 ，y2＝ 23 . 所以 B??? ???103 ， 23 ，代入 ① 得 A點坐標為 (2，－ 2)． 因為 OA→ AB→ ＝ 0，所以 OA⊥ AB. 所以過 O、 A、 B 三點的圓就是以 OB 為直徑的圓， 其方程為 x2＋ y2－ 103
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