高中數學數列求和及其綜合應用(編輯修改稿)
2025-09-27 20:11 本頁面
【文章內容簡介】 02583657815 Mail： 3. 必要不充分 4. 2 0122 013 解析： f′ (x)＝ 2x＋ b,2＋ b＝ 3， b＝ 1， f(n)＝ n2＋ n＝ n(n＋ 1)， Sn＝ ?? ??1－ 12 ＋?? ??12－13 ＋ ? ＋ ?? ??1n－ 1n＋ 1 ＝nn＋ 1. 例題選講 例 1 解： (1) 設等差數列 {an}的公差為 d，則 (2＋ 2d)2＝ 2 (2＋ 6d)，又 d≠ 0， ∴ d＝ 1，an＝ n＋ 1， bn＝ 2n， anbn＝ (n＋ 1)2n，用錯位相減法可求得 Tn＝ n2n＋ 1. (2) ∵ 新的數列 {}的前 2n－ n－ 1 項和為數列 {an}的前 2n－ 1 項的和減去數列 {bn}前 n項的和， ∴ S2n－ n－ 1＝ ?2n－ 1??2＋ 2n?2 －2?2n－ 1?2－ 1 ＝ (2n－ 1)(2n－ 1－ 1)． ∴ S2n－ n－ 1－ 22n－ 1＋ 32n－ 1＝ 1. 變式訓練 已知等差數列 {an}滿足 a3＋ a6＝－ 13， a1a 8＝－ 43， a1＞ a8， (1) 求數列 {an}的通項公式； (2) 把數列 {an}的第 1 項、第 4 項、第 7 項、 ? 、第 3n－ 2 項、 ? 分別作為數列 {bn}的第 1 項、第 2 項、第 3 項、 ? 、第 n 項、 ? ，求數列 {2bn}的前 n 項之和； (3) 設數列 {}的通項為 ＝ n2bn，試比較 (n＋ 1)(n＋ 2)＋ n(n＋ 1)＋ 2 與 2n(n＋ 2)＋ 1的大?。? 解： (1) {an}為等差數列， a3＋ a6＝ a1＋ a8＝－ 13，又 a1a 8＝－ 43，且 a1＞ a8，求得 a1＝ 1，a8＝－ 43，公差 d＝ a8－ a18－ 1 ＝－ 13， ∴ an＝ 1－ 13(n－ 1)＝－ 13n＋ 43(n∈ N*)． (2) b1＝ a1＝ 1， b2＝ a4＝ 0, ∴ bn＝ a3n－ 2＝－ 13(3n－ 2)＋ 43＝－ n＋ 2， ∴ 2bn＋ 12bn＝ 2－ ?n＋ 1?＋ 22－ n＋ 2 ＝12， ∴ {2bn}是首項為 2，公比為12的等比數列， ∴ {2bn}的前 n 項之和為2?? ??1－ ?? ??12 n1－ 12＝ 4－ ?? ??12 n－ 2. (3) ＝ n2bn， ∴ (n＋ 1)(n＋ 2)＋ n(n＋ 1)＋ 2－ 2n(n＋ 2)＋ 1 ＝ n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn＋ n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn＋ 2－ 2n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn＋ 1 ＝ n(n＋ 1)(n＋ 2)(2bn＋ 2bn＋ 2－ 2 2bn＋ 1) ＝ n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn(1＋ 2bn＋ 2－ bn－ 2 2bn＋ 1－ bn) ＝ n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn(1＋ 2－ 2－ 2 2－ 1) ＝ n(n＋ 1)(n＋ 2)2bn(1＋ 14－ 1)＞ 0， 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯系電話： 02583657815 Mail： 其中 bn＋ 2－ bn＝－ (n＋ 2)＋ 2－ (－ n＋ 2)＝－ 2， bn＋ 1－ bn＝－ (n＋ 1)＋ 2－ (－ n＋ 2)＝－ 1，∴ (n＋ 1)(n＋ 2)＋ n(n＋ 1)＋ 2＞ 2n(n＋ 2)＋ 1. 例 2 解：由題意知 a1＝ 2，且 ban－ 2n＝ (b－ 1)Sn， ban＋ 1－ 2n＋ 1＝ (b－ 1)Sn＋ 1， 兩式相減得 b(an＋ 1－ an)－ 2n＝ (b－ 1)an＋ 1，即 an＋ 1＝ ban＋ 2n.① (1) 當 b＝ 2 時，由 ① 知 an＋ 1＝ 2an＋ 2n 于是 an＋ 1－ (n＋ 1)2n＝ 2an＋ 2n－ (n＋ 1)2n＝ 2(an－ n2n－ 1)， 又 a1－ 121－ 1＝ 1≠ 0, ∴ an－ n2n－ 1≠ 0, ∴ an＋ 1－ ?n＋ 1?2nan－ n2n－ 1 ＝ 2， ∴ {an－ n2n－ 1}是首項為 1，公比為 2 的等比數列． (2) 當 b＝ 2 時，由 (1)知 an－ n2n－ 1＝ 2n－ 1，即 an＝ (n＋ 1)2n－ 1， 當 b≠ 2 時，由 ① 得 an ＋ 1－ 12－ b2 n ＋ 1＝ ban＋ 2n－ 12－ b2 n ＋ 1＝ ban－ b2－ b2 n＝b?? ??an－ 12－ b2 n . 因此 an＋ 1－ 12－ b2 n＋ 1＝ b?? ??an－ 12－ b2 n ，又 a1－ 12－ b 2＝ 2?1－ b?2－ b ， 故 an＝????? 2， n＝ 1，12－ b[2n＋ 2?1－ b?bn－ 1]， n≥ 2， n∈ N*. ∴ an＝????? ?n＋ 1?2n－ 1， b＝ 2，12－ b[2n＋ 2?1－ b?bn－ 1]， b≠ 2. 變式訓練 已知數列 {an}
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