高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用-文庫(kù)吧
2025-07-19 20:11 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列 {an}滿足： a1＝ m(m 為正整數(shù) )， an＋ 1＝????? an2，當(dāng) an為偶數(shù)時(shí)，3an＋ 1，當(dāng) an為奇數(shù)時(shí) .若 a6＝ 1，則 m 所有可能的取值為 ________. 5.(2020上海 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn＝ n－ 5an－ 85， n∈ N*. (1) 證明： {an－ 1}是等比數(shù)列； (2) 求數(shù)列 {Sn}的通項(xiàng)公式，并求出使得 Sn＋ 1Sn成立的最小正整數(shù) 115， 5614 115 6.(2020重慶 )設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 Sn＋ 1＝ an＋ 1Sn(n∈ N*)． (1) 若 a1， S2，－ 2a2成等比數(shù)列，求 S2和 a3； (2) 求證：對(duì) k≥ 3 且 k∈ N*有 0≤ ak＋ 1≤ ak≤ 43. (本小題滿分 12 分 )數(shù)列 {an}、 {bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ＝ bnan(n∈ N*)． (1) 數(shù)列 {}是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論； (2) 設(shè)數(shù)列 {lnan}、 {lnbn}的前 n項(xiàng)和分別為 Sn， a1＝ 2， SnTn＝ n2n＋ 1，求數(shù)列 {}的前 n 項(xiàng)和． 解： (1) {}是等比數(shù)列． (2 分 ) 證明：設(shè) {an}的公比為 q1(q10)， {bn}的公比為 q2(q20)，則 ＋ 1 ＝bn＋ 1an＋ 1anbn＝bn＋ 1bn anan＋ 1＝q2q1≠ 0，故 {}為等比數(shù)列． (5 分 ) (2) 數(shù)列 {lnan}和 {lnbn}分別是公差為 lnq1和 lnq2的等差數(shù)列． 由條件得nlna1＋ n?n－ 1?2 lnq1nlnb1＋ n?n－ 1?2 lnq2＝ n2n＋ 1，即 2lna1＋ ?n－ 1?lnq12lnb1＋ ?n－ 1?lnq2＝ n2n＋ 1. (7 分 ) 即 (2lnq1－ lnq2)n2＋ (4lna1－ lnq1－ 2lnb1＋ lnq2)n＋ (2lna1－ lnq1)＝ 0. 上式對(duì) n∈ N*恒成立．于是????? 2lnq1－ lnq2＝ 0，4lna1－ lnq1－ 2lnb1＋ lnq2＝ 0，2lna1－ lnq1＝ 0. 將 a1＝ 2 代入得 q1＝ 4， q2＝ 16， b1＝ 8.(10 分 ) 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 從而有 ＝ 816n－ 124n－ 1 ＝ 4n. 所以數(shù)列 ||的前 n 項(xiàng)和為 4＋ 42＋ ? ＋ 4n＝ 43(4n－ 1)． (12 分 ) 第 11 講 數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 1. 兩個(gè)正數(shù) a、 b 的等差中項(xiàng)是 52，一個(gè)等比中項(xiàng)是 6，且 a＞ b，則雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1的離心率 e 等于 ________． 【答案】 133 解析：由題有????? a＋ b＝ 5，ab＝ 6 ????? a＝ 3，b＝ 2 或 ????? a＝ 2，b＝ 3 (舍 )， e＝ca＝32＋ 223＝ 133 . 2. 在等比數(shù)列 {an}中，前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sm， Sm＋ 2， Sm＋ 1成等差數(shù)列，則 am， am＋ 2，am＋ 1成等差數(shù)列． (1) 寫出這個(gè)命題的逆命題； (2) 判斷逆命題是 否為真？并給出證明． 解： (1)在等比數(shù)列 {an}中，前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 am， am＋ 2， am＋ 1成等差數(shù)列，則 Sm， Sm＋ 2， Sm＋ 1成等差數(shù)列． (2) 數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1，公比為 ： 2am＋ 2＝ am＋ am＋ 1， 即 2a1qm＋ 1＝ a1qm－ 1＋ a1qm， ∵ a1≠ 0， q≠ 0, ∴ 2q2－ q－ 1＝ 0, ∴ q＝ 1 或 q＝－ 12， 當(dāng) q＝ 1 時(shí)，有 Sm＝ ma1， Sm＋ 2＝ (m＋ 2)a1， Sm＋ 1＝ (m＋ 1)a1， 顯然： 2Sm＋ 2≠ Sm＋ Sm＋ ． 當(dāng) q＝－ 12時(shí)，有 2Sm＋ 2＝2a1?? ??1－ ?? ??－ 12 m＋ 21＋ 12＝ 43a1?? ??1－ ?? ??－ 12 m＋ 2 ， Sm＋ Sm＋ 1＝a1?? ??1－ ?? ??－ 12 m1＋ 12＋2a1?? ??1－ ?? ??－ 12 m＋ 11＋ 12＝ 43a1?? ??1－ ?? ??－ 12 m＋ 2 ， ∴ 2Sm＋ 2＝ Sm＋ Sm＋ 1，此時(shí)逆命題為真． 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. － 15 解析： a1＋ a2＝ a3＋ a4＝ ? ＝ a9＋ a10＝－ 3， a1＋ a2＋ ? ＋ a10＝ 5 (－ 3)＝－ 15. 2. 6 解析： a7b7＝ a1＋ a13b1＋ b13＝ A13B13＝ 7 13＋ 513＋ 3 ＝ 6. 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話：
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