高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用(已修改)
2025-09-02 20:11 本頁面
【正文】 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 第 11講 數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 1. 掌握數(shù)列的求和方法 (1) 直接利用等差、等比數(shù)列求和公式； (2) 通過適當(dāng)變形 (構(gòu)造 )將未知數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和； (3) 根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯位相減、逆序相加等方法求和； (4) 通過分組、拆項(xiàng)、裂項(xiàng)等手段分別求和； (5) 在證明有關(guān)數(shù)列和的不等式時要能用放縮的思想來解題 (如 n(n－ 1)n2n(n＋ 1)，能用函數(shù)的單調(diào)性(定義 法 )來求數(shù)列和的最值問題及恒成立問題． 2. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，這部分內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，高考題中所涉及的知識綜合性很強(qiáng)，既有較繁的運(yùn)算又有一定的技巧，在解題時要注意從整體去把握． 1. 若數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式是 an＝ (－ 1)n－ 1(3n－ 2)，則 a1＋ a2＋ ? ＋ a10＝ ________. {an}和 {bn}的前 n 項(xiàng)和分別為 An 和 Bn，且 AnBn＝ 7n＋ 5n＋ 3 ，則 a7b7＝________. {an}滿足 a2n＋ 1a2n ＝ p(p 為正常數(shù)， n∈ N*)，則稱 {an}為 “ 等方比數(shù)列 ” ． 則 “ 數(shù)列{an}是等方比數(shù)列 ” 是 “ 數(shù)列 {an}是等比數(shù)列 ” 的 ________條件． (填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分又不必要 ” ) f(x)＝ x2＋ bx的圖象在點(diǎn) (1， f(1))處的切線與直線 6x－ 2y＋ 1＝ 0 平行，若數(shù)列 ??? ???1f?n? 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 S2 012＝ ________. 【例 1】 已知公差不為零的等差數(shù)列 {an}中 a1＝ 2，設(shè) a a a7是公比為 q 的等比數(shù)列 {bn}的前三項(xiàng)． (1) 求數(shù)列 {anbn}的前 n 項(xiàng)和 Tn； (2) 將數(shù)列 {an}與 {bn}中相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列 {}，設(shè)其前 n 項(xiàng)和為 Sn，求 S2n－ n－ 1－ 22n－ 1＋ 32n－ 1的值． 【例 2】 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 ban－ 2n＝ (b－ 1)Sn. (1) 證明：當(dāng) b＝ 2 時， {an－ n2n－ 1}是等比數(shù)列； (2) 求 {an}的通項(xiàng)公式． 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 【例 3】 已知數(shù)列 {an}和 {bn}滿足： a1＝ 1， a2＝ 2， an0， bn＝ anan＋ 1(n∈ N*)，且 {bn}是以 q 為公比的等比數(shù)列． (1) 證明： an＋ 2＝ anq2； (2) 若 ＝ a2n－ 1＋ 2a2n，證明：數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (3) 求和： 1a1＋ 1a2＋ 1a3＋ 1a4＋ ? ＋ 1a2n－ 1＋ 1a2n. 【例 4】 將數(shù)列 {an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 記表中的第一列數(shù) a1， a2， a4， a7， ? 構(gòu)成的數(shù)列為 {bn}， b1＝ a1＝ 1. Sn為數(shù)列 {bn}的前n 項(xiàng)和，且滿足 2bnbnSn－ S2n＝ 1(n≥ 2)． (1) 證明數(shù)列 ??? ???1Sn成等差數(shù)列，并求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式； (2) 上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)，當(dāng) a81＝－ 491時，求上表中第 k(k≥ 3)行所有項(xiàng)的和． 1. (2020江西 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且 a1＝ 1，那么 a10＝________. 2.(2020山東 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ xx＋ 2(x0)，觀察： f1(x)＝ f(x)＝ xx＋ 2， f2(x)＝ f(f1(x))＝ x3x＋ 4， f3(x)＝ f(f2(x))＝ x7x＋ 8， f4(x)＝ f(f3(x))＝ x15x＋ 16， ? 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng) n∈ N＋ 且 n≥ 2 時， fn(x)＝ f(fn－ 1(x))＝ ________. 3.(2020江蘇 )函數(shù) y＝ x2(x0)的圖象在點(diǎn) (ak， ak2)處的切線與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ak＋1，其中 k∈ N*.若 a1＝ 16，則 a1＋ a3＋ a5的值是 ________． 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 4.(2020湖北 )已知
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